Задание №2 ЕГЭ Информатика с ответом и решением

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ ¬w и получим систему, при которой оно ложно:

система выражений совокупность выражений x=0,y=1, конец системы . y не равно z,w=1. конец совокупности .

Cразу видно, что первый столбец — это w, поскольку w всегда должна равняться единице. Также ясно, что x — это переменная 4, так как y не равно z. Из первого выражения x ∧ ¬y и последней строчке таблицы видно, что переменная 3 — это y, а вторая переменная — это z.

Примечание.

Рассмотрим, как будет выглядеть полная таблица истинности. Переменная w всегда должна принимать значение 1, поэтому в первом столбце во всех строках будет стоять единица. Исходя из условия y не равно z можно заключить, что во втором столбце в последней строке будет стоять единица, и в первых двух строках третьего столбца тоже будут стоять единицы. В первой четвёртого столбца должна стоять единица, поскольку строки в таблице истинности должны быть разными.

Вариант wyzx не подходит, поскольку в первой строке функция F окажется истинной.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности функции F вручную или при помощи языка Python:

print("x y z w")

for x in range(0, 2):

for y in range(0, 2):

for z in range(0, 2):

for w in range(0, 2):

if not((x and not(y)) or (y == z) or not(w)):

print(x, y, z, w)

Далее выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w.

(0, 0, 1, 1),

(0, 1, 0, 1),

(1, 1, 0, 1).

Заметим, что переменная w всегда должна быть равна 1, поэтому ей соответствует первый столбец заданной таблицы.

Заметим, что вторая и третья строки заданной таблицы, содержащие по два нуля, соответствуют наборам переменных (0, 0, 1, 1) или (0, 1, 0, 1), тогда первая строка соответствует набору (1, 1, 0, 1). Значит, в первой строке z = 0, а все остальные переменные равны 1, и переменной z соответствует второй столбец заданной таблицы.

Тогда вторая строка заданной таблицы, в которой переменная z также равна 0, соответствует набору (0, 1, 0, 1), в котором х = 0, а остальные переменные равны 1, поэтому переменной х соответствует четвертый столбец таблицы.

Тогда переменной y соответствует третий столбец.

Ответ: wzyx.

Приведем другое решение Юрия Красильникова.

Формула состоит из трёх выражений, между которыми стоят операции «или». Чтобы формула была ложной, должно быть ложным каждое из трёх выражений.

Последнее выражение - это ¬w. Оно ложно, когда переменная w истинна. Очевидно, в таблице w - это переменная 1, и в столбце переменной 1 пустая клетка тоже содержит 1.

Среднее выражение - (y ≡ z). Оно ложно, когда переменные y и z имеют различные значения. Поэтому переменными y и z могут быть только переменные 2 и 3 (с точностью до перестановки). А переменная 4 - это переменная x. Также очевидно, что в пустых клетках переменных 2 и 3 находятся единицы (т. к. переменные y и z должны иметь противоположные значения).

Пустая клетка переменной 4 в верхней строке таблицы должна содержать 1 - иначе верхняя и средняя строки таблицы будут одинаковыми.

В верхней строке таблицы x=1. Чтобы выражение (x ∧ ¬y) было ложным при x=1, y должен быть равен 0. Поэтому y - это переменная 3.

Ответ: wzyx.