Задание №13 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 315
Условие
Исполнитель Фибо преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера.
1. Прибавить 1.
2. Прибавить 2.
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая увеличивает его на 2.
Программа для исполнителя Фибо — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 2 в число 18 и при этом траектория вычислений содержит число 9 и не содержит числа 14?
Траектория вычислений — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 212 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 9, 10, 12.
Подсказки — как подойти к решению
- Количество программ удобно считать динамикой: заведи массив, где для каждого числа хранится, сколькими программами в него можно попасть, и заполняй его по возрастанию.
- Раз траектория обязана пройти через число 9, разбей путь на два независимых участка — от старта до 9 и от 9 до цели — и перемножь количества программ на каждом (правило произведения).
- Запрещённое число не вычёркивай после подсчёта, а обнули соответствующую ячейку прямо в динамике, чтобы маршруты через неё не попали ни в одну сумму; и следи, что вторая команда сдвигает не на один шаг, а на два.
Решение
Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 2 число 9, на количество программ, получающих из числа 9 число 13 и на количество программ, получающих из числа 15 число 18, поскольку траектория вычислений не должна содержать числа 14.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 2 преобразуют в число n, P(n) — количество программ, которые число 9 преобразуют в число n, а F(n) — количество программ, которые преобразуют число 15 в число n.
Для всех n > 4 верны следующие соотношения:
1. R(n) = R(n – 1) + R(n – 2), так как существует два способа получения n — прибавлением единицы или прибавлением двойки. Аналогично P(n) = P(n – 1) + P(n – 2) и F(n) = F(n – 1) + F(n – 2).
Последовательно вычислим значения R(n):
R(2) = 1;
R(3) = 1;
R(4) = R(2) + R(3) = 2;
R(5) = R(3) + R(4) = 3;
R(6) = R(5) + R(4) = 5;
R(7) = R(6) + R(5) = 8;
R(8) = R(7) + R(6) = 13;
R(9) = R(8) + R(7) = 21.
Теперь вычислим значения P(n):
P(9) = 1;
P(10) = 1;
P(11) = P(9) + P(10) = 2;
P(12) = P(10) + P(11) = 3;
P(13) = P(11) + P(12) = 5.
Теперь вычислим значения F(n):
F(15) = 1;
F(16) = 1;
F(17) = F(15) + F(16) = 2;
F(18) = F(16) + F(17) = 3.
Таким образом, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 21 · 5 · 3 = 315.
Ответ: 315.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 14:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x + 2, y)
print(f(2, 9) * f(9, 18))
Типичные ошибки
- Если при подсчёте второго участка не обнулить ячейку запрещённого числа, в ответ попадут программы, посещающие его. Запрет нужно накладывать внутри динамики, а не после.
- Потерян последний участок траектории: подсчёт программ надо продолжать до конечного значения, а не останавливаться на промежуточном числе.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по информатике