Задание №13 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 14
Условие
Исполнитель Вычислитель преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера.
1. Прибавить 1.
2. Умножить на 2.
Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2.
Программа для Вычислителя — это последовательность команд.
Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число 21 и при этом траектория вычислений содержит число 10 и не содержит числа 16?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при исходном числе 7 траектория будет состоять из чисел 8, 16, 17.
Подсказки — как подойти к решению
- Снова динамика: заполняй таблицу количеств программ по возрастанию числа, начиная со стартового значения.
- Так как траектория обязана содержать число 10, итог — произведение количества программ от старта до 10 и количества программ от 10 до цели.
- На втором участке обнули ячейку запрещённого числа, тогда маршруты через него не попадут в итог; не забывай проверять делимость, прежде чем учитывать вклад команды умножения.
Решение
Искомое количество программ равно произведению количества программ, получающих из числа 1 число 10, на количество программ, получающих из числа 10 число 15, и на количество программ, получающих из числа 17 число 21, поскольку траектория вычислений не должна содержать числа 16.
Пусть R(n) — количество программ, которые число 1 преобразуют в число n, P(n) — количество программ, которые число 10 преобразуют в число n, а F(n) — количество программ, которые преобразуют число 17 в число n.
Верны следующие соотношения.
1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(n – 1), так как существует единственный способ получения n из n − 1 — прибавление единицы. То же самое аналогично для P(n) и F(n).
2. Пусть n делится на 2, тогда R(n) = R(n : 2) + R(n – 1). То же самое аналогично для P(n) и F(n).
Постепенно вычислим значения R(n):
R(1) = 1;
R(2) = 2;
R(3) = R(2) = 2;
R(4) = R(2) + R(3) = 4;
R(5) = R(4) = 4;
R(6) = R(3) + R(5) = 6;
R(7) = R(6) = 6;
R(8) = R(4) + R(7) = 10;
R(9) = R(8) = 10;
R(10) = R(5) + R(9) = 14.
Теперь вычислим значения P(n):
P(10) = P(11) = P(12) = P(13) = P(14) = P(15) = 1.
Далее вычислим значения F(n):
F(17) = F(18) = F(19) = F(20) = F(21) = 1.
Следовательно, количество программ, удовлетворяющих условию задачи, равно 14 · 1 · 1 = 14.
Ответ: 14.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, y):
if x > y or x == 16:
return 0
if x == y:
return 1
else:
return f(x + 1, y) + f(x * 2, y)
print(f(1, 10) * f(10, 21))
Типичные ошибки
- Запрещённое число не исключено: в счёт попали программы, которые его проходят. Обнуление ячейки убирает такие маршруты автоматически.
- Не учтено обязательное прохождение через промежуточное число 10 — посчитаны все программы от старта до цели подряд.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №13 по информатике