Задание №15 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 99
Условие
Для какого наибольшего целого числа А формула
((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Подсказки — как подойти к решению
- Замени импликацию по правилу A → B = ¬A ∨ B — тогда в каждой скобке останутся только неравенства, а параметр A окажется границей для квадрата переменной.
- Переменные x и y ничем не связаны, поэтому формула тождественно истинна ровно тогда, когда каждая скобка истинна при всех допустимых значениях своей переменной.
- Для скобки с посылкой «x больше границы» найди значения, при которых посылка ложна, и потребуй, чтобы для них работало следствие; для второй скобки, наоборот, посмотри, где ложно следствие, и подбери границу; ответ — пересечение двух ограничений.
Решение
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
система выражений совокупность выражений x больше 9,x в квадрате меньше или равно A, конец системы . совокупность выражений y в квадрате больше A,y меньше или равно 9 конец совокупности . конец совокупности .
будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.
Заметим, что переменные не связаны между собой уравнением или неравенством, поэтому необходимо и достаточно, чтобы решениями первой совокупности были все неотрицательные х, а решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
Решениями неравенства x больше 9 являются числа 10, 11, 12, ... Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных чисел, числа 0, 1, 2, ... 9 должны быть решениями неравенства x в квадрате меньше или равно A. Значит, A больше или равно 81.
Аналогично, решениями неравенства y меньше или равно 9 являются числа 0, 1, ... 9. Следовательно, числа 10, 11, 12, ... должны быть решениями неравенства y в квадрате больше A. Поэтому A меньше 100.
Таким образом, 81 меньше или равно A меньше 100. Искомое наибольшее целое значение параметра равно 99.
Ответ: 99.
Приведём решение на языке Python.
for a in range(300, 1, -1):
k = 0
for x in range(0, 300):
for y in range(0, 300):
if ((x <= 9) <= (x * x <= a)) and ((y*y <= a) <= (y <= 9)):
k += 1
if k == 90_000:
print(a)
break
Приведём решение Артёма Позднякова на языке Python.
def f(x,y,a):
return ((x <= 9) <= (x*x <= a)) and ((y*y <= a)<=(y <= 9))
A=[]
for a in range(0,1000):
if all(f(x,y,a)==1 for x in range(1,1000) for y in range(1,1000)):
A += [a]
print(max(A))
Типичные ошибки
- Граница определена неверно: неравенство с квадратом должно выполняться и для следующего целого значения. Проверяй крайнюю точку подстановкой в исходную формулу.
- Учтена только первая скобка. Верхнее ограничение даёт вторая скобка, её тоже нужно разобрать.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по информатике