Задание №15 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 20
Условие
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A))
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?
Подсказки — как подойти к решению
- Запиши обе импликации через дизъюнкцию: получится условие «точка лежит внутри отрезка A» и условие «выполнено неравенство с квадратом».
- Из первого условия следует, что A не может выходить за пределы одного множества, из второго — что A обязан накрывать другое; нарисуй оба множества на числовой прямой.
- Наибольшая длина достигается, когда отрезок растянут от самой левой до самой правой допустимой границы; длина — это разность концов, а не расстояние от нуля.
Решение
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
система выражений совокупность выражений x \notin A,x в квадрате меньше или равно 100, конец системы . совокупность выражений x в квадрате больше 64,x принадлежит A конец совокупности . конец совокупности .
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.
Решениями неравенства x в квадрате меньше или равно 100 являются все числа из отрезка [−10; 10]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, не должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−10; 10].
Аналогично, решениями неравенства x в квадрате больше 64 являются числа из лучей левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 8 правая круглая скобка и левая круглая скобка 8; бесконечность правая круглая скобка . Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−8; 8].
Таким образом, наибольшая длина отрезка A может быть равна 10 + 10 = 20.
Ответ: 20.
Примечание.
О длине отрезка написано в примечании к задаче 11119.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x,a):
return ((x in a) <= (x**2 <= 100)) and ((x**2 <= 64) <= (x in a))
a = set([i for i in range(-1000,1000)])
for x in range(-1000, 1000):
if not f(x,a):
a.remove(x)
print(len(a) - 1)
Типичные ошибки
- За длину принята длина меньшего множества. Отрезок A может быть длиннее, если не выходит за границы большего множества.
- Длина посчитана как расстояние от нуля до одной из границ. Учитывать нужно оба конца отрезка.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по информатике