Задание №15 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 18
Условие
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ∈ A))
тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?
Подсказки — как подойти к решению
- Убери импликации и разберись, какое множество задаёт каждая скобка: одна отвечает за попадание точки в отрезок A, другая — за ограничение на квадрат переменной.
- Переменные независимы, поэтому условия анализируются по отдельности: одно ограничивает отрезок A снаружи, другое требует, чтобы A содержал внутреннее множество.
- Наибольший отрезок получается растягиванием между крайними допустимыми точками, а его длина считается как разность правого и левого концов.
Решение
Раскрывая импликацию по правилу A → B = ¬A + B, заменяя логическую сумму совокупностью, а логическое произведение системой соотношений, определим значения параметра А, при котором система совокупностей
система выражений совокупность выражений x \notin A,x в квадрате меньше или равно 81, конец системы . совокупность выражений y в квадрате больше 36,y принадлежит A конец совокупности . конец совокупности .
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Чтобы решениями системы были все вещественные числа, необходимо и достаточно, чтобы решениями каждой из совокупностей были все вещественные числа.
Решениями неравенства x в квадрате меньше или равно 81 являются все числа из отрезка [−9; 9]. Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не лежащие на указанном отрезке, не должны принадлежать отрезку A. Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−9; 9].
Аналогично, решениями неравенства y в квадрате больше 36 являются числа из лучей левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая круглая скобка и левая круглая скобка 6; бесконечность правая круглая скобка . Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа у, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A. Следовательно, отрезок A должен содержать в себе отрезок [−6; 6].
Тем самым, наибольшая длина отрезка A может быть равна 9 + 9 = 18.
Ответ: 18.
Примечание.
Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 15955.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x,a):
return ((x in a) <= (x**2 <= 81)) and ((x**2 <= 36) <= (x in a))
a = set([i for i in range(-1000,1000)])
for x in range(-1000, 1000):
if not f(x,a):
a.remove(x)
print(len(a) - 1)
Типичные ошибки
- За длину принята длина внутреннего множества, а отрезок A может быть длиннее, если остаётся внутри внешней границы.
- Учтён только один конец отрезка: длина складывается из расстояний от нуля до обоих концов, а не равняется расстоянию до одной границы.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №15 по информатике