Задание №19 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 12
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 48.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 48 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 меньше или равно S меньше или равно 47.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Подсказки — как подойти к решению
- Это задание на разметку позиций: каждую кучу помечай как выигрышную или проигрышную для того игрока, чей сейчас ход, двигаясь от конца игры к её началу. Перебирать отдельные партии бесполезно — важно, кто побеждает при любых ответах соперника.
- Начни с разметки «победа за один ход»: это позиции, из которых хотя бы один допустимый ход (добавить один камень, добавить четыре камня или увеличить кучу в два раза) даёт не меньше 48 камней. Дальше позиция выигрышна, если из неё есть ход в проигрышную позицию соперника, и проигрышна, если все ходы ведут только в выигрышные.
- Фраза «Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети» означает: сам Петя сразу выиграть не может, но у него есть ход, переводящий кучу в позицию, откуда Ваня побеждает одним ходом. Перебирай S по возрастанию начиная с 1 и проверяй для каждого оба условия — первое подошедшее значение и будет минимальным.
Решение
Минимальное значение: S = 12. Петя может получить позицию 24, в которой Ваня может выиграть ходом 48. При меньших значениях S ни при каком ходе Пети Ваня не сможет выиграть первым ходом.
Ответ: 12.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, h):
if h == 3 and x >= 48:
return 1
elif h == 3 and x < 48:
return 0
elif x >= 48 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего(неудачный ход)
for x in range(1, 48):
if f(x, 1) == 1:
print("Задача 19: ", x)
break
Приведём решение Никиты Печурина на языке Python.
def f(s,m):
if s>=48:
return m%2==0
if m==0:
return 0
h = [f(s+1,m-1),f(s+4,m-1),f(s*2,m-1)]
if (m-1)%2==0:
return any(h)
else:
return any(h)
print('19-',[s for s in range(1,48) if not f(s,0) and f(s,2)][0])
Типичные ошибки
- Это значение действительно подходит: Петя не может выиграть сразу, но его ход отдаёт Ване победу за один ход. Однако задание требует наименьшего S, поэтому перебор нужно вести от 1 и останавливаться на первом подходящем, а не на самом заметном.
- Здесь указана не начальная куча, а позиция, в которую Петя переводит кучу своим ходом. Как значение S такая куча не годится: из неё Петя выигрывает уже первым ходом, то есть его ход не был бы неудачным.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по информатике