Задание №19 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 3
Условие
Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 68.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Известно, что Вася выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Паши. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.
Подсказки — как подойти к решению
- Это задание на разметку позиций: каждую кучу помечай как выигрышную или проигрышную для того игрока, чей сейчас ход, двигаясь от конца игры к её началу. Перебирать отдельные партии бесполезно — важно, кто побеждает при любых ответах соперника.
- Начни с разметки «победа за один ход»: это позиции, из которых хотя бы один допустимый ход (добавить один камень, добавить четыре камня или увеличить кучу в пять раз) даёт не меньше 69 камней. Дальше позиция выигрышна, если из неё есть ход в проигрышную позицию соперника, и проигрышна, если все ходы ведут только в выигрышные.
- Фраза «Вася выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Паши» означает: сам Паша сразу выиграть не может, но у него есть ход, переводящий кучу в позицию, откуда Вася побеждает одним ходом. Перебирай S по возрастанию начиная с 1 и проверяй для каждого оба условия — первое подошедшее значение и будет минимальным.
Решение
Минимальное значение: S = 3. Паша может получить позицию 15, в которой Вася может выиграть ходом 75. При меньших значениях S ни при каком ходе Паши Вася не сможет выиграть первым ходом.
Ответ: 3.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, h):
if h == 3 and x >= 68:
return 1
elif h == 3 and x < 68:
return 0
elif x >= 68 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего(неудачный ход)
for x in range(1, 68):
if f(x, 1) == 1:
print("Задача 19: ", x)
break
Приведём решение Артёма Гридина на языке Python.
from functools import lru_cache
def moves(h):
return h+1, h+4, h*5
@lru_cache(None)
def game(h):
if h >= 69: return 'W'
if any(game(m) == 'W' for m in moves(h)): return 'P'
if any(game(m) == 'P' for m in moves(h)): return 'V'
for s in range(1, 68):
if game(s) == 'V':
print(s)
break
Типичные ошибки
- Это значение действительно подходит: Паша не может выиграть сразу, но его ход отдаёт Васе победу за один ход. Однако задание требует наименьшего S, поэтому перебор нужно вести от 1 и останавливаться на первом подходящем, а не на самом заметном.
- Здесь указана не начальная куча, а позиция, в которую Паша переводит кучу своим ходом. Как значение S такая куча не годится: из неё Паша выигрывает уже первым ходом, то есть его ход не был бы неудачным.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №19 по информатике