Задание №20 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 101819
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу один камень или
добавить в кучу два камня или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11, 12 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 42 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 41.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.
Найдите три таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.
Подсказки — как подойти к решению
- Эта задача тоже решается разметкой позиций: для каждой кучи нужно понять, кто выигрывает при правильной игре и за сколько своих ходов — «за один ход», «за два хода».
- Условие «Петя не может выиграть за один ход» отсекает все S, из которых какой-нибудь ход сразу даёт 42 камня или больше. Условие «может выиграть своим вторым ходом независимо от игры Вани» требует найти такой ход Пети, после которого ЛЮБОЙ ответ Вани попадает в позицию, где Петя выигрывает за один ход.
- Проверяй кандидатов полным перебором: отметь позиции «победа за один ход», затем для каждого S проверь оба условия и выпиши подходящие значения по возрастанию без разделителей. Не путай саму кучу S с позициями, в которые игроки её переводят, и не бери кучи, из которых Петя побеждает сразу.
Решение
Возможные значения S: 10, 18, 19. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 20 камней (при S = 10 он удваивает количество камней; при S = 18 добавляет 2 камня; при S = 19 добавляет один камень). Тогда после первого хода Вани в куче будет 21 камень, или 22 камня, или 40 камней. Во всех случаях Петя увеличивает количество камней в куче в 2 раза и выигрывает вторым ходом.
Таким образом, ответ — 101819.
Ответ: 101819.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, h):
if h == 4 and x >= 42:
return 1
elif h == 4 and x < 42:
return 0
elif x >= 42 and h < 4:
return 0
else:
if h % 2 != 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 2, h + 1) or f(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 2, h + 1) and f(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего
for x in range(1, 42):
if f(x, 1) == 1:
print("Задача 20: ", x)
Приведём решение Анны Ширяевой на языке Python.
def f(s,m):
if s>41: return m%2==0
if m==0: return 0
h = [f(s+1,m-1), f(s+2,m-1), f(s*2,m-1)]
return any(h) if (m-1)%2==0 else all(h)
print("Задача 20:",[s for s in range(1,42) if not f(s,1) and f(s,3)])
Типичные ошибки
- Ни одно из этих значений не выдерживает условие «при любом ходе соперника»: у Вани находится ответ, после которого Петя не побеждает своим вторым ходом. Проверяй кандидата по всем ответам соперника, а не по одному удобному.
- Это позиции, из которых Петя выигрывает уже своим первым ходом, а первое условие задания это прямо запрещает. Прежде чем проверять второй ход, убеждайся, что из S нельзя победить за один ход.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №20 по информатике