Задание №20 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 415
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу один камень или
увеличить количество камней в куче в четыре раза.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или из 40 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 64. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 64.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.
Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
— Петя не может выиграть за один ход;
— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания без разделительных знаков.
Подсказки — как подойти к решению
- Порог победы — шестьдесят пять камней. Отметь позиции, где игрок выигрывает одним ходом, потом проигрышные: из них и добавление одного камня, и умножение кучи на четыре ведут в выигрышную позицию соперника.
- Петя должен первым ходом попасть в позицию, где Ваня не может победить сразу и любой его ход оставляет возможность добить кучу. Проверь обе ветки ответа Вани, а не только удобную.
Решение
Возможные значения S: 4, 15. В этих случаях Петя не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 16 камней (при S = 4 он увеличивает количество камней в 4 раза, при S = 15 добавляет 1 камень). Тогда после первого хода Вани в куче будет 17 камней или 64 камня. Во всех случаях Петя увеличивает количество камней в куче в 4 раза и выигрывает вторым ходом.
Таким образом, ответ — 415.
Ответ: 415.
Приведём другое решение на языке Python.
def f(x, h):
if h == 4 and x >= 65:
return 1
elif h == 4 and x < 65:
return 0
elif x >= 65 and h < 4:
return 0
else:
if h % 2 != 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x * 4, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x * 4, h + 1) # стратегия проигравшего
for x in range(1, 65):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
Типичные ошибки
- Здесь легко сбиться на соседнее значение. Проверь оба хода Пети из выбранного S и оба возможных ответа Вани: только полный перебор всех вариантов даёт верный набор.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №20 по информатике