Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 8
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 75 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 68.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 68 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 67.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Начинай с разметки позиций: для каждой кучи определи, кто выигрывает при правильной игре и на каком своём ходу — «за один ход», «за два хода».
- Условие «Ваня выигрывает первым или вторым ходом при любой игре Пети» означает победу за два своих хода: на каждый ход Пети у Вани должен находиться ответ, после которого он побеждает сразу либо после любого следующего хода Пети.
- Второе условие убирает позиции, где Ваня гарантированно побеждает уже первым ходом, — значит, нужен хотя бы один ход Пети, который не отдаёт Ване немедленную победу. Перебирай S по возрастанию и проверяй оба условия разметкой — первое подошедшее значение и есть минимальное.
Решение
Минимальное значение S: 8. После первого хода Пети в куче будет 9, 12 или 40 камней. Если в куче станет 40 камней, Ваня увеличит количество камней в 5 раз и выиграет первым ходом. Когда в куче 9 или 12 камней, можно получить кучу из 13 камней (при S = 9 нужно добавить 4 камня, при S = 12 нужно добавить 1 камень). Тогда после второго хода Пети в куче будет 14 камней, или 17 камней, или 65 камней. Во всех случаях Ваня увеличивает количество камней в куче в 5 раз и выигрывает вторым ходом.
Таким образом, ответ — 8.
Ответ: 8.
Приведём решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 68:
return 1
elif h == 5 and x < 68:
return 0
elif x >= 68 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 68:
return 1
elif h == 3 and x < 68:
return 0
elif x >= 68 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 4, h + 1) or f1(x * 5, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 4, h + 1) and f1(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 68):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 68):
if f1(x, 1) == 1:
print(x) # Исключим эти значения из списка выше
Приведём решение Виктории Зиберовой на языке Python.
def f(k, m):
if k >= 68:
return m % 2 == 0
if m == 0:
return 0
h = [f(k + 1, m - 1), f(k + 4, m - 1), f(k * 5, m - 1)]
return any(h) if m % 2 != 0 else all(h)
print('zadanie21', min([s for s in range(1, 68) if not f(s, 2) and f(s, 4)]))
Приведём решение Маргариты Фалько на языке Python.
def g(s, p, end):
if s > 67:
return p in end
if p >= max(end):
return False
moves = [g(s+1, p+1, end), g(s+4, p+1, end), g(s*5, p+1, end)]
return any(moves) if ((p + 1) % 2) == (end[0] % 2) else all(moves)
print('Задаие 20:', [s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [1, 3]) and not g(s, 0, [1])])
print('Задаие 21:', [s for s in range(1, 68) if g(s, 0, [2, 4]) and not g(s, 0, [2])])
Типичные ошибки
- При таком S Ваня выигрывает уже своим первым ходом при любом ходе Пети, а второе условие требует, чтобы такой гарантированной победы за один ход у Вани не было. Оба условия нужно проверять вместе, а не по отдельности.
- Значение подходит по обоим условиям, но оно не минимальное: задание просит наименьшее S, поэтому перебор веди от 1 и не останавливайся на первом найденном «сверху».
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике