Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 8
Условие
Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 68.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, то есть не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши;
— у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Начинай с разметки позиций: для каждой кучи определи, кто выигрывает при правильной игре и на каком своём ходу — «за один ход», «за два хода».
- Условие «Вася выигрывает первым или вторым ходом при любой игре Паши» означает победу за два своих хода: на каждый ход Паши у Васи должен находиться ответ, после которого он побеждает сразу либо после любого следующего хода Паши.
- Второе условие убирает позиции, где Вася гарантированно побеждает уже первым ходом, — значит, нужен хотя бы один ход Паши, который не отдаёт Васе немедленную победу. Перебирай S по возрастанию и проверяй оба условия разметкой — первое подошедшее значение и есть минимальное.
Решение
Минимальное значение S: 8. После первого хода Паши в куче может быть: 9, 12, 40. Если в куче станет 40 камней, то Вася увеличит количество камней в куче в 5 раз и выиграет своим первым ходом. В ситуации, когда в куче 9 или 12 камней, Вася добавляет в кучу 1 или 4 камня таким образом, чтобы получилось 13 камней. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 8.
Ответ: 8.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Васи гарантировано выиграть первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 68:
return 1
elif h == 5 and x < 68:
return 0
elif x >= 68 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 5, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 5, h + 1) # сратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 68:
return 1
elif h == 3 and x < 68:
return 0
elif x >= 68 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 4, h + 1) or f1(x * 5, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 4, h + 1) and f1(x * 5, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 68):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 68):
if f1(x, 1) == 1:
print(x)
Типичные ошибки
- При таком S Вася выигрывает уже своим первым ходом при любом ходе Паши, а второе условие требует, чтобы такой гарантированной победы за один ход у Васи не было. Оба условия нужно проверять вместе, а не по отдельности.
- Значение подходит по обоим условиям, но оно не минимальное: задание просит наименьшее S, поэтому перебор веди от 1 и не останавливайся на первом найденном «сверху».
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике