Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 18
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 64.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Начинай с разметки позиций: для каждой кучи определи, кто выигрывает при правильной игре и на каком своём ходу — «за один ход», «за два хода».
- Условие «Ваня выигрывает первым или вторым ходом при любой игре Пети» означает победу за два своих хода: на каждый ход Пети у Вани должен находиться ответ, после которого он побеждает сразу либо после любого следующего хода Пети.
- Второе условие убирает позиции, где Ваня гарантированно побеждает уже первым ходом, — значит, нужен хотя бы один ход Пети, который не отдаёт Ване немедленную победу. Перебирай S по возрастанию и проверяй оба условия разметкой — первое подошедшее значение и есть минимальное.
Решение
Минимальное значение S: 18. После первого хода Пети в куче будет 19 камней, 20 камней или 54 камня. Если в куче станет 54 камня, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. В ситуации, когда в куче 19 или 20 камней, Ваня добавляет в кучу 2 или 1 камень таким образом, чтобы получился 21 камень. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 18.
Ответ: 18.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 65:
return 1
elif h == 5 and x < 65:
return 0
elif x >= 65 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 2, h + 1) or f(x * 3, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 2, h + 1) and f(x * 3, h + 1) # сратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 65:
return 1
elif h == 3 and x < 65:
return 0
elif x >= 65 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 2, h + 1) or f1(x * 3, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 2, h + 1) and f1(x * 3, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 65):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 65):
if f1(x, 1) == 1:
print(x)
Типичные ошибки
- При таком S Ваня выигрывает уже своим первым ходом при любом ходе Пети, а второе условие требует, чтобы такой гарантированной победы за один ход у Вани не было. Оба условия нужно проверять вместе, а не по отдельности.
- При таком S не выполняется условие «при любой игре Пети»: находится первый ход Пети, после которого Ваня не успевает выиграть ни первым, ни вторым ходом. Проверяй ВСЕ первые ходы соперника, а не только удобные.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике