Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 15
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11, 12 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 54. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 55 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 54.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Здесь стратегия нужна Ване, а Петя ходит первым. Ищи минимальное S, из которого Петя любым своим ходом (+1, +2 или утроение) попадает в позицию, где Ваня выигрывает не позже своего второго хода.
- Ключевое ограничение: у Вани нет стратегии, гарантирующей победу первым ходом. Значит, значения, из которых Ваня бьёт сразу при любом ходе Пети, надо исключить — оба условия проверяй одновременно.
Решение
Минимальное значение S: 15. После первого хода Пети в куче будет 16 каменей, 17 камней или 45 камней. Если в куче станет 45 камней, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. В ситуации, когда в куче 16 или 17 камней, Ваня добавляет в кучу 2 или 1 камень таким образом, чтобы получилось 18 камней. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 15.
Ответ: 15.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 55:
return 1
elif h == 5 and x < 55:
return 0
elif x >= 55 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 2, h + 1) or f(x * 3, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 2, h + 1) and f(x * 3, h + 1) # стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 55:
return 1
elif h == 3 and x < 55:
return 0
elif x >= 55 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 2, h + 1) or f1(x * 3, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 2, h + 1) and f1(x * 3, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 55):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 55):
if f1(x, 1) == 1:
print(x)
Типичные ошибки
- Проверь это значение по обоим условиям: у Вани должна быть стратегия на первый или второй ход при любом ходе Пети, и при этом он не должен гарантированно побеждать первым ходом.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике