Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 20
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу один камень, или
добавить в кучу три камня, или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11, 13 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 49. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 50 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 49.
Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Порог победы — пятьдесят камней. Нужен минимальный S, где Ваня, отвечая на любой ход Пети, гарантированно побеждает своим первым или вторым ходом, поэтому размечай позиции от конца игры к началу.
- Не путай два условия: выигрыш Вани за один ход при каком-то ходе Пети и гарантированный выигрыш при любом его ходе — разные вещи. Ищи S, где верно второе, а чистая победа в один ход невозможна.
Решение
Минимальное значение S: 20. После первого хода Пети в куче будет 21 камень, 23 камня или 40 камней. Если в куче станет 40 камней, то Ваня увеличит количество камней в 2 раза и выиграет своим первым ходом. В ситуации, когда в куче 21 или 23 камня, Ваня добавляет в кучу 3 или 1 камень таким образом, чтобы получилось 24 камня. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 20.
Ответ: 20.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 50:
return 1
elif h == 5 and x < 50:
return 0
elif x >= 50 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 3, h + 1) or f(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 3, h + 1) and f(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 50:
return 1
elif h == 3 and x < 50:
return 0
elif x >= 50 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 3, h + 1) or f1(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 3, h + 1) and f1(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 50):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 50):
if f1(x, 1) == 1:
print(x)
Типичные ошибки
- Скорее всего выбранное значение не проходит первое условие: из него Петя может уйти в позицию, где Ваня не выигрывает вторым ходом. Проверяй все три возможных хода Пети.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике