Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 8
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 19 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 41.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 камень или больше.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 40.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Порог — сорок один камень. Петя ходит первым, добавляя один или четыре камня либо утраивая кучу; Ваня должен выигрывать не позже второго своего хода при любом ответе Пети.
- Проверяй оба условия по порядку: сначала что Ваня побеждает при любом первом ходе Пети, потом что он не может гарантированно выиграть сразу своим первым ходом. Наименьшее S из подходящих и запиши.
Решение
Минимальное значение S: 8. После первого хода Пети в куче будет 9, 12 или 24 камня. Если в куче станет 24 камня, Ваня утроит количество камней и выиграет первым ходом. В ситуации, когда в куче 9 или 12 камней, Ваня добавляет в кучу 4 или 1 камень таким образом, чтобы получилось 13 камней. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 8.
Ответ: 8.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, при которой он гарантировано выиграет первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 41:
return 1
elif h == 5 and x < 41:
return 0
elif x >= 41 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x + 4, h + 1) or f(x * 3, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x + 4, h + 1) and f(x * 3, h + 1) # стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 41:
return 1
elif h == 3 and x < 41:
return 0
elif x >= 41 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x + 4, h + 1) or f1(x * 3, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x + 4, h + 1) and f1(x * 3, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 41):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 41):
if f1(x, 1) == 1:
print(x)
Типичные ошибки
- Возможно, второе условие не проверено и взято значение, где Ваня гарантированно побеждает первым ходом. Именно такие S при поиске минимального нужно отбрасывать.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике