Задание №21 ЕГЭ Информатика с ответом и решением
Ответ: 24
Условие
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в кучу один камень или
увеличить количество камней в куче в два раза.
Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или из 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 53. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 54 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 53.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы следующего стратегии игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными.
Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Подсказки — как подойти к решению
- Победа при пятидесяти четырёх камнях и больше. Ходов только два: добавить камень или удвоить кучу. Нужен минимальный S, где у Вани есть стратегия, выигрывающая за первый или второй ход.
- Считай позиции с конца: помечай, кто выигрывает из кучи перед своим ходом. Затем проверь, при каком наименьшем S Петя своим первым ходом неизбежно попадает в позицию, где побеждает Ваня.
Решение
Минимальное значение S: 24. После первого хода Пети в куче будет 25 или 48 камней. Если в куче станет 48 камней, Ваня удвоит количество камней и выиграет первым ходом. В ситуации, когда в куче 25 камней, Ваня добавляет в кучу 1 камень таким образом, чтобы получилось 26 камней. В этом случае при любой игре Пети Ваня выигрывает своим следующим ходом.
Таким образом, ответ — 24.
Ответ: 24.
Приведём другое решение на языке Python.
Исключим стратегию Вани, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом:
def f(x, h):
if (h == 3 or h == 5) and x >= 54:
return 1
elif h == 5 and x < 54:
return 0
elif x >= 54 and h < 5:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f(x + 1, h + 1) or f(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f(x + 1, h + 1) and f(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего
def f1(x, h):
if h == 3 and x >= 54:
return 1
elif h == 3 and x < 54:
return 0
elif x >= 54 and h < 3:
return 0
else:
if h % 2 == 0:
return f1(x + 1, h + 1) or f1(x * 2, h + 1) # стратегия победителя
else:
return f1(x + 1, h + 1) and f1(x * 2, h + 1) # стратегия проигравшего(любой ход)
for x in range(1, 54):
if f(x, 1) == 1:
print(x)
print("====")
for x in range(1, 54):
if f1(x, 1) == 1:
print(x) # Исключим эти значения из списка выше
Типичные ошибки
- Проверь значение заново: возможно, из него Петя своим ходом уходит в позицию, где Ваня не успевает выиграть вторым ходом. Оба условия должны выполняться одновременно.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №21 по информатике