№26. Расчёты по раствору: массовая доля, разбавление и смешивание
Задание №26 — расчётная задача о растворах: добавление соли или щёлочи, разбавление водой, упаривание и смешивание двух растворов. Решается одним приёмом — уравнением баланса по массе растворённого вещества. Балл теряют из-за забытого процента, из-за роста только числителя при добавлении вещества и из-за неверного округления в конце.
Задание устроено так: известны масса и массовая доля исходного раствора, а также то, что с ним сделали — добавили вещество, долили воду, выпарили часть воды или слили с другим раствором. Спрашивают массу добавленного вещества, массу воды или массу кислоты в смеси. Ответ просят дать с точностью до десятых или до целых, поэтому следи за округлением.
Основа всей темы — определение массовой доли. Массовая доля растворённого вещества показывает, какую часть массы раствора составляет само вещество: ω = m(вещества) / m(раствора). В процентах это же число умножают на 100%. Отсюда два рабочих действия: массу вещества находят умножением массы раствора на долю, а массу раствора — делением массы вещества на долю.
ω = m(вещества) / m(раствора) · 100%
m(вещества) = m(раствора) · ω / 100%
Главный принцип решения: масса растворённого вещества при разбавлении, упаривании и сливании растворов сохраняется, меняется только масса раствора. Пример: в 200 г 10% раствора соли содержится 200 · 0,10 = 20 г соли; после добавления 300 г воды соли по-прежнему 20 г, а масса раствора стала 500 г, значит доля равна 20 / 500 = 0,04, то есть 4%. Если же в раствор добавляют само вещество, растут и числитель, и знаменатель: к массе вещества прибавляется порция x, и к массе раствора — тоже x.
Отдельный случай — кристаллогидраты, например медный купорос CuSO4·5H2O. Масса навески не равна массе безводной соли: часть массы приходится на кристаллизационную воду. Сначала считают массовую долю соли в кристаллогидрате: M(CuSO4) = 160 г/моль, M(CuSO4·5H2O) = 250 г/моль, значит доля равна 0,64, и из 50 г купороса в раствор попадёт 50 · 0,64 = 32 г соли.
Для смешивания двух растворов удобно правило смешения, оно же «правило креста» или квадрат Пирсона: массы растворов относятся обратно пропорционально разностям массовых долей. Если смешать раствор с долей ω1 и раствор с долей ω2, получится раствор с долей ω3, причём m1 / m2 = (ω3 − ω2) / (ω1 − ω3). Правило не заменяет уравнение баланса, но позволяет быстро проверить ответ и оценить, в какую сторону сдвинется концентрация.
m1 / m2 = (ω3 − ω2) / (ω1 − ω3)
| Что дано | Что ищем | Формула и приём |
|---|---|---|
| Раствор и добавляемая соль | Массу соли x | m(р-ра)·ω1 + x = (m(р-ра) + x)·ω3 — вещество и раствор растут на одну и ту же порцию |
| Раствор и добавляемая вода | Массу воды x | m(р-ра)·ω1 = (m(р-ра) + x)·ω3 — масса вещества постоянна |
| Раствор и выпаренная вода | Массу воды x | m(р-ра)·ω1 = (m(р-ра) − x)·ω3 — знаменатель уменьшается |
| Два раствора одного вещества | Массу вещества в смеси | m = m1·ω1 + m2·ω2; масса вещества складывается, доли — нет |
| Масса раствора и доля | Количество вещества (моль) | n = m(вещества)/M = m(р-ра)·ω/(100%·M) |
| Кристаллогидрат | Массу безводной соли | m(соли) = m(кристаллогидрата)·M(соли)/M(кристаллогидрата) |
Иногда после расчёта по раствору нужно перейти к количеству вещества — например, чтобы посчитать, сколько моль кислоты участвует в реакции. Делается это в два действия: сначала находят массу чистого вещества m(вещества) = m(раствора)·ω, а затем делят её на молярную массу: n = m(вещества)/M. Обратный переход тоже нужен: зная количество вещества, находят массу и делят её на массовую долю, чтобы получить массу раствора.
- Шаг 1. Выпиши «дано»: массы растворов, их массовые доли, добавленную или выпаренную воду, массу добавленного вещества.
- Шаг 2. Переведи проценты в доли: 12% — это 0,12; 5% — это 0,05. Дальше работай только с долями.
- Шаг 3. Найди массу растворённого вещества в каждой исходной порции: m = m(раствора) · ω.
- Шаг 4. Запиши уравнение баланса по веществу: слева — всё вещество из исходных порций, справа — масса вещества в конечном растворе, записанная через новую долю.
- Шаг 5. Реши уравнение относительно x, раскрыв скобки; проверь, что x положителен и по смыслу подходит (например, воды не может быть больше, чем было в растворе).
- Шаг 6. Округли только окончательный результат, как требует условие, и запиши ответ с единицами измерения.
Типичные ошибки. 1) Забывают перевести проценты в доли и умножают массу раствора на 12 вместо 0,12 — ответ вырастает в сто раз. 2) Меняют массу растворённого вещества там, где она сохраняется: при разбавлении и упаривании меняется только масса раствора. 3) Добавляя соль или щёлочь, увеличивают лишь массу вещества и забывают, что на ту же порцию растёт и масса раствора. 4) Считают массу кристаллогидрата равной массе безводной соли, хотя часть навески — кристаллизационная вода. 5) Округляют промежуточные числа и получают ответ, отличающийся на единицу; округлять нужно только итог. 6) Записывают ответ без единиц измерения или с лишними знаками после запятой, хотя условие просит десятые.
Проверь себя
- Почему при разбавлении раствора массовая доля уменьшается, а масса растворённого вещества не меняется?
- Что изменится в уравнении баланса, если в раствор добавить не воду, а твёрдую соль того же вещества?
- Почему массовые доли двух растворов нельзя складывать, а массы растворённого вещества — можно?
- Как найти массу безводной соли, если в условии дана масса кристаллогидрата, например CuSO4·5H2O?
- Как перейти от массы раствора с известной массовой долей к количеству вещества в молях и что для этого нужно знать дополнительно?
Показательные решения
- Дано: 150 г раствора с массовой долей соли 10%. В него добавили x г той же соли и получили раствор с массовой долей 12%. Нужно найти x с точностью до десятых.
- Переводим доли: 10% — это 0,10, а 12% — это 0,12. Масса соли в исходном растворе равна 150 · 0,10 = 15 г.
- После добавления соли масса вещества стала 15 + x граммов, а масса раствора — 150 + x граммов: добавленная порция увеличивает и числитель, и знаменатель.
- Записываем определение массовой доли для нового раствора: (15 + x) / (150 + x) = 0,12.
- Раскрываем скобки и решаем: 15 + x = 18 + 0,12x, значит 0,88x = 3, откуда x ≈ 3,41 г.
- Проверяем: масса соли 18,4 г, масса раствора 153,4 г, отношение 18,4 / 153,4 ≈ 0,12 — доля совпадает. Округляем до десятых.
- Ответ: 3,4 г соли нужно добавить.
Ответ: 3,4
Официальное решение из банка ФИПИ
Масса раствора, масса растворенного вещества и массовая доля растворенного вещества связаны соотношением: вещества= (mвещества)/(mраствора). При растворении суммарная масса соли не изменяется. Получаем равенство: m₁ (р − ра) · ₁ + m₂ (в − ва) =m₃ (р − ра) · ₃; 150 · 0,10 + x= (150 + x) · 0,12; 15 + x = 18 + 0,12x; 0,88x=3; x=3,4. Ответ просят дать с точностью до десятых. Ответ: 3,4.
- Дано: 155 г раствора кислоты с массовой долей 5% и 207 г раствора той же кислоты с массовой долей 11%. Спрашивают суммарную массу кислоты в полученной смеси.
- Считаем кислоту в первой порции: 155 · 0,05 = 7,75 г. Проценты переводим в доли, иначе получится число в сто раз больше.
- Считаем кислоту во второй порции: 207 · 0,11 = 22,77 г.
- При смешивании растворов одного и того же вещества массы складываются: 7,75 + 22,77 = 30,52 г. Массовые доли при этом складывать нельзя.
- Проверяем ответ через правило смешения: доля в смеси равна 30,52 / (155 + 207) ≈ 0,084, то есть около 8,4% — это действительно между 5% и 11%, значит расчёт правдоподобен.
- Ответ: масса кислоты в смеси 30,5 г.
Ответ: 30,5
Официальное решение из банка ФИПИ
Найдем массу кислоты: m= 155 · 0,05 + 207 · 0,11= 30,5 (г). Ответ: 30,5.
- Дано: 500 г раствора гидроксида натрия с массовой долей 10%. Часть воды выпарили, и доля щёлочи стала 15%. Нужно найти массу выпаренной воды с точностью до целых.
- Находим массу щёлочи: 500 · 0,10 = 50 г. При выпаривании уходит только вода, поэтому масса щёлочи остаётся 50 г.
- Обозначаем выпаренную воду за x. Масса раствора после упаривания равна 500 − x, и это уменьшение касается знаменателя, а не числителя.
- Записываем определение доли для нового раствора: 50 / (500 − x) = 0,15.
- Решаем: 50 = 75 − 0,15x, значит 0,15x = 25 и x ≈ 166,7 г.
- Проверяем: масса раствора 333,3 г, доля равна 50 / 333,3 ≈ 0,15 — сходится; выпаренная вода меньше исходной массы раствора, это тоже хороший признак.
- Ответ: выпарили 167 г воды.
Ответ: 167
Официальное решение из банка ФИПИ
Масса раствора, масса растворенного вещества и массовая доля растворенного вещества связаны соотношением: вещества= (mвещества)/(mраствора). При упаривании раствора масса гидроксида натрия не изменяется. Получаем равенство: m₁ (р − ра) · ₁=m₂ (р − ра) · ₂ + 0; 500 · 0,10 = (500 − x) · 0,15; 50=75 − 0,15x; 0,15x=25; x=166,7. Ответ просят дать с точностью до целых. Ответ: 167.