№1. Планиметрия: прямоугольный треугольник, площади, окружность
Первое задание проверяет одну вещь: умеешь ли ты быстро находить длину, угол или площадь по готовому чертежу. Здесь всегда есть короткий путь — теорема Пифагора, определение синуса или формула площади; длинных выкладок не бывает.
Начнём с самого главного: в прямоугольном треугольнике всё держится на трёх определениях. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к гипотенузе, тангенс — противолежащего к прилежащему. Если запомнить эту связку, задание №1 решается в одну строку.
sin A = a/c (противолежащий / гипотенуза) · cos A = b/c (прилежащий / гипотенуза) · tg A = a/b
Стороны обозначаются по углам: гипотенуза AB лежит напротив прямого угла, катет BC лежит напротив угла A, катет AC — напротив угла B. Ошибка «взял не тот катет» — самая частая в этом задании, поэтому первым делом всегда подписывай на чертеже, где прямой угол.
- Теорема Пифагора: c² = a² + b² — связывает все три стороны, нужна, когда известны две.
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому sin A = cos B.
- Площадь: S = a·h/2 для любого треугольника, S = ab/2 для прямоугольного, S = ab·sin γ/2 через две стороны и угол между ними.
- Площадь по трём сторонам (формула Герона): S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p — полупериметр.
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается; угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине; в трапеции — полусумме оснований.
Типичные ошибки. 1) Путают прилежащий и противолежащий катет. 2) Забывают, что гипотенуза — самая длинная сторона: если по расчёту катет вышел больше гипотенузы, ответ точно неверный. 3) В заданиях с окружностью берут центральный угол вместо вписанного (вписанный в два раза меньше дуги, центральный — равен ей). 4) Округляют промежуточные значения: считай дробями до конца, округляй только ответ.
Порядок действий в задании №1: (1) отметь прямой угол и подпиши, какой катет против какого угла; (2) выпиши, что дано, в виде отношений sin/cos/tg или через теорему Пифагора; (3) вырази неизвестную сторону; (4) подставь числа и посчитай, не округляя до последнего шага.
Проверь себя
- Что такое sin, cos и tg острого угла прямоугольного треугольника?
- Как понять по чертежу, какой катет противолежащий, а какой прилежащий?
- Сформулируй теорему Пифагора и скажи, для каких треугольников она работает.
- Чем вписанный угол отличается от центрального?
Показательные решения
- Угол C прямой, значит AB — гипотенуза, AC = 4,8 — катет, прилежащий к углу A, а BC — противолежащий катет.
- Синус угла A — это противолежащий катет к гипотенузе: sin A = BC / AB. Именно BC нам и не нужен: ищем AB.
- Удобнее взять косинус: cos A = AC / AB. Косинус найдём из основного тригонометрического тождества: sin²A + cos²A = 1.
- cos²A = 1 − (7/25)² = 1 − 49/625 = 576/625, значит cos A = 24/25 (угол острый, косинус положительный).
- Из cos A = AC / AB получаем AB = AC / cos A = 4,8 : (24/25) = 4,8 · 25/24 = 120/24 = 5.
- Проверка: 5 — самая длинная сторона, катеты 4,8 и 1,4 дают 4,8² + 1,4² = 23,04 + 1,96 = 25 = 5², всё сходится.
Ответ: 5
Официальное решение из банка ФИПИ
Найдем cos угла A: cos A = √(1 − sin² A) = √(1 − 49/625) = 24/25. Следовательно, AB = (AC)/(cos A) = 4,8: 24/25 = 4,8 · 25/24 = 48/10 · 25/24 = 5. Ответ: 5. Примечание. Можно было бы воспользоваться определением cos: cos A = 24/25 = AC/AB, то есть 24/25 = 4,8/AB, откуда AB = (25 · 4,8)/(24) = 5. Приведём другое решение. Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению sin sin A = CB/AB = 7/25, то есть CB/x = 7/25, откуда CB = 7/25 x. Применим теорему Пифагора: x² = 4,8² + (7/25 x)² ⇔ x² = (24/5)² + 49/625 x² ⇔ 576/625 x² = 576/25 ⇔ x² = 25 при x > 0 ⇔ x = 5. x² = 4,8² + (7/25 x)² ⇔ x² = (24/5)² + 49/625 x² ⇔ ⇔ 576/625 x² = 576/25 ⇔ x² = 25 при x > 0 ⇔ x = 5.
- Прямой угол при C, значит AB — гипотенуза, AC = 2 — катет, прилежащий к углу A, BC — противолежащий.
- Дано sin A = √17/17. Нам нужен BC, а он выражается через синус: sin A = BC / AB. Но AB неизвестна.
- Найдём сначала косинус: cos²A = 1 − 17/289 = 272/289, значит cos A = 4√17/17.
- Из cos A = AC/AB: AB = AC / cos A = 2 : (4√17/17) = 2·17/(4√17) = 17/(2√17) = √17/2.
- Теперь BC = AB · sin A = (√17/2) · (√17/17) = 17/34 = 0,5.
- Проверка по Пифагору: AC² + BC² = 4 + 0,25 = 4,25; AB² = 17/4 = 4,25 — совпало.
Ответ: 0,5
Официальное решение из банка ФИПИ
Имеем: BC = AC tg A = (AC sin A)/(√(1 − sin² A)) = (2 · (√(17))/(17))/(√(1 − 17/289)) = 2 · (√(17))/(17) · (17)/(√(272)) = 2 · √(1/16) = 2 · 1/4 = 0,5. Ответ: 0,5. Приведем решение Алишера Простова. Найдем cos угла А: cos A = √(1 − sin² A) = √(1 − ((√(17))/(17))²) = (4)/(√(17)). Найдем длину гипотенузы AB: AB = (AC)/(cos A) = (2)/((4)/(√(17))) = (√(17))/(2). По теореме Пифагора найдем длину катета BC: BC = √(AB² − AC²) = √(((√(17))/(2))² − 2²) = √((17 − 16)/(4)) = √(1/4) = 0,5.
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №1