№10. Текстовые задачи: движение, работа, проценты, смеси
Классическая текстовая задача на составление уравнения. Всё держится на одной таблице: скорость (производительность, концентрация) × время = путь (работа, вещество).
Любая текстовая задача в №10 — это три величины, связанные умножением: скорость · время = путь; производительность · время = работа; концентрация · объём = количество вещества. Составляем таблицу по условию (кто, что, сколько), выражаем одну неизвестную через букву x и получаем уравнение.
s = v·t · A = p·t · m = c·V · средняя скорость = весь путь / всё время
- Движение по воде: скорость по течению = собственная + течение, против течения = собственная − течение.
- Задачи на совместную работу: производительности складываются, время работы вместе = 1/(p₁ + p₂)... в единицах «за час».
- Проценты: увеличение на p% — это умножение на (1 + p/100); скидка на p% — умножение на (1 − p/100).
- Смеси и сплавы: считаем «сухое вещество» (или чистый металл) — оно при смешивании складывается.
- Если объекты движутся навстречу — скорости складываются; вдогонку — вычитаются.
Типичные ошибки. 1) Путают «на 16 км/ч больше» и «в 16 раз больше». 2) Складывают времена вместо скоростей (или наоборот). 3) Забывают про стоянки и остановки, хотя они даны в условии. 4) В задачах на работу принимают всю работу за 1, но потом сравнивают её с конкретными числами (страницы, детали) — единицы должны быть согласованы. 5) Не проверяют, что ответ положительный и реальный (скорость не 200 км/ч у велосипедиста).
Алгоритм: (1) выписать величины и единицы; (2) обозначить неизвестную (обычно скорость или производительность); (3) заполнить таблицу: время = путь / скорость; (4) собрать уравнение из условия («на 2 часа быстрее», «вместе за 6 часов»); (5) решить, отбросить посторонний корень, ответить на вопрос задачи (иногда спрашивают не x, а другую величину).
Проверь себя
- Какую таблицу удобно рисовать в задачах на движение и почему?
- Как считать производительность, если известно время на всю работу?
- Почему в задачах про движение по реке две скорости, а не одна?
Показательные решения
- Пусть скорость первого автомобиля x км/ч, весь путь примем за S км. Второй едет первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую — со скоростью x + 16 км/ч.
- Время первого: t₁ = S/x. Время второго: t₂ = (S/2)/24 + (S/2)/(x + 16).
- По условию первый приехал раньше (в условии задания сказано, на сколько), то есть t₂ > t₁.
- Делим уравнение на S (оно сокращается — значит, ответ не зависит от длины пути): 1/48 + 1/(2(x + 16)) − 1/x = Δ.
- Приводим к общему знаменателю и решаем квадратное уравнение относительно x; положительный корень — скорость первого автомобиля.
- Проверка: подставляем найденную скорость в оба времени и убеждаемся, что разница совпадает с условием; скорость должна быть разумной и больше 0.
Ответ: 32 км/ч (по официальному ответу банка для исходных данных задания)
Официальное решение из банка ФИПИ
Пусть v км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна v + 16 км/ч. Примем расстояние между пунктами за 1. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем: 1/v = 0,5/24 + (0,5)/(v + 16) ⇔ 1/v = 1/ 48 + 1/ 2 (v + 16) ⇔ 1/v = ((v + 16) + 24)/(48 (v + 16)) ⇔ при v > 0 ⇔ 48 (v + 16) = v (v + 40) ⇔ v² − 8 v − 768 = 0 ⇔ v = 32, v = − 24. при v > 0 ⇔ v = 32. при v > 0 ⇔ 48 (v + 16) = v (v + 40) ⇔ ⇔ v² − 8 v − 768 = 0 ⇔ v = 32, v = − 24. при v > 0 ⇔ v = 32. Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 32 км/ч. Ответ: 32.
- Всю работу принимаем за 1. Производительность первого: 1/12 заказа в час, второго — 1/24.
- Вместе за час они делают 1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24 = 1/8 заказа.
- Значит, на весь заказ нужно 1 : (1/8) = 8 часов.
- Проверка: за 8 часов первый сделал 8/12 = 2/3 работы, второй 8/24 = 1/3; вместе 2/3 + 1/3 = 1 — заказ готов.
Ответ: 8 часов
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №10