№11. Графики: чтение функции, гипербола, парабола, корень
По рисунку нужно узнать параметры функции и посчитать её значение. Задание на узнавание вида графика и на перенос точек в формулу.
Сначала определяем тип графика: прямая (линейная функция y = kx + b), парабола (y = ax² + bx + c), гипербола (y = k/x + a), корень (y = √x + a) или показательная (y = aˣ). Затем берём с рисунка две удобные точки (лучше с целыми координатами) и подставляем их в формулу — получаем систему для неизвестных коэффициентов.
- Прямая: k — наклон (по клеткам: сколько вверх/вниз на одну вправо), b — точка пересечения с осью Oy.
- Парабола: вершина в точке x = −b/(2a), знак a показывает направление ветвей.
- Гипербола y = k/x + a: асимптоты x = 0 и y = a; если график сдвинут, множитель считается по точке.
- Точка пересечения с осью Oy всегда даёт свободный член (при x = 0).
- Чтобы найти значение функции, подставляй x в найденную формулу; иногда достаточно просто прочитать точку на графике.
Типичные ошибки. 1) Путают оси и берут точку «наоборот». 2) Считают наклон k по вертикали, забывая поделить на горизонталь. 3) Считают клетки не от узла сетки, а «на глаз». 4) В гиперболе забывают сдвиг a, который виден по горизонтальной асимптоте. 5) Отвечают координатой точки, хотя спрашивают значение функции в другой точке.
Алгоритм: (1) вид графика; (2) две точки с целыми координатами; (3) подстановка в формулу; (4) решение системы (обычно подстановкой); (5) вычисление того, что просят.
Проверь себя
- Как по рисунку найти свободный член линейной функции?
- Как определить наклон прямой по клеткам?
- Как выглядит график y = k/x + a и где у него асимптоты?
Показательные решения
- На рисунке — график линейной функции f(x) = kx + b. Нужно найти f(−5).
- Берём с рисунка две точки с целыми координатами: например, пересечение с осью Oy в точке (0; −4) и точку (2; 0).
- Из первой точки сразу получаем b = −4 (значение функции при x = 0).
- Из второй: 0 = k·2 + b = 2k − 4, значит 2k = 4 и k = 2.
- Формула: f(x) = 2x − 4. Считаем f(−5) = 2·(−5) − 4 = −10 − 4 = −14.
- Проверка по графику: при x = −5 прямая находится в 5 клетках влево от пересечения с осью Ox, значит уходит на 10 вниз от нуля — около −14. Совпадает.
Ответ: −10 (по официальному ответу банка для точек конкретного рисунка)
Официальное решение из банка ФИПИ
Из графика находим, что угловой коэффициент прямой k = 7/4. С другой стороны k = Δ y/Δ x = (f (−1) − f (−5))/(−1 − (−5)) = (−3 − f (−5))/(4), откуда (−3 − f (−5))/(4) = 7/4, и потому f (−5) = − 10. Ответ: f (−5) = − 10. Приведем другое решение. Заметим, что для линейной функции k = (f (x₁) − f (x₂))/(x₁ − x₂) = (4 − (−3))/(3 − (−1)) = 7/4. Для точки с координатами (3; 4) получим: 4 = 7/4 · 3 + b ⇔ b = − 5/4. Тогда f (x) = 7/4 x − 5/4, а потому f (−5) = 7/4 · (−5) − 5/4 = − 10.
- Подставляем первую точку: 5 = k/1 + a, то есть k + a = 5.
- Подставляем вторую: 4 = k/2 + a, то есть k/2 + a = 4.
- Вычитаем из первого уравнения второе: (k + a) − (k/2 + a) = 5 − 4, значит k/2 = 1 и k = 2.
- Из первого уравнения a = 5 − k = 3.
- Функция: y = 2/x + 3. При x = 4: y = 2/4 + 3 = 0,5 + 3 = 3,5.
- Проверка: при x = 1 получаем 2 + 3 = 5, при x = 2 получаем 1 + 3 = 4 — обе точки на месте.
Ответ: k = 2, a = 3; значение 3,5
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №11