№12. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
В №12 нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Алгоритм формальный: производная → критические точки → значения на концах → сравнение. И одна важная ловушка — «красивый» ответ.
Если функция непрерывна на отрезке, то своё наибольшее и наименьшее значение она принимает либо на концах отрезка, либо в критических точках, попавших внутрь. Поэтому перебираем все эти точки, считаем значения и сравниваем.
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ · (eˣ)′ = eˣ · (ln x)′ = 1/x · (√x)′ = 1/(2√x) · (uv)′ = u′v + uv′
- Критические точки — там, где производная равна нулю или не существует.
- Корни производной удобно искать, вынося общий множитель: у eˣ производная никогда не ноль, поэтому уравнение решает скобка.
- Если производная на всём отрезке положительна — функция возрастает, и наибольшее значение на правом конце, наименьшее на левом.
- Значения сравниваем точно: √2 и 1,4 — разные числа, ответ пишут тем, что получилось.
- Проверка на «красоту»: у таких заданий ответ обычно целое число или простое выражение.
Типичные ошибки. 1) Учитывают только критические точки и забывают концы отрезка. 2) Наоборот — берут концы и забывают критические. 3) Ошибаются в производной произведения: (uv)′ ≠ u′v′. 4) Забывают, что x из знаменателя не входит в область определения. 5) Сравнивают значения «на глаз» и теряют верный ответ.
Алгоритм: (1) найти производную; (2) решить f′(x) = 0 и отобрать корни внутри отрезка; (3) посчитать значения функции в этих точках и на концах; (4) выбрать наибольшее или наименьшее (смотря что просят); (5) если ответ некрасивый — перепроверить производную.
Проверь себя
- Какие точки обязательно проверяют при поиске наибольшего значения на отрезке?
- Почему при поиске корней производной можно «выбросить» множитель eˣ?
- Как проверить, что найденная точка — минимум, а не максимум?
Показательные решения
- Функция y = (x − 8)·e^(x − 7) на отрезке [6; 8]. Ищем наименьшее значение.
- Производная произведения: y′ = 1·e^(x − 7) + (x − 8)·e^(x − 7) = e^(x − 7)·(1 + x − 8) = e^(x − 7)·(x − 7).
- Множитель e^(x − 7) всегда положителен, поэтому y′ = 0 только при x − 7 = 0, то есть x = 7. Точка 7 лежит внутри отрезка [6; 8].
- Считаем значения: y(6) = (6 − 8)·e^(−1) = −2/e ≈ −0,74; y(7) = (7 − 8)·e⁰ = −1; y(8) = 0·e¹ = 0.
- Сравниваем: наименьшее из трёх — это −1 (в точке x = 7).
- Проверка знаками производной: при x < 7 множитель (x − 7) отрицателен, функция убывает; при x > 7 растёт — значит x = 7 действительно минимум.
Ответ: −1
Официальное решение из банка ФИПИ
Найдем производную заданной функции: y' = (x − 8) 'e ^ (x − 7) + (x − 8) (e ^ (x − 7)) ' = e ^ (x − 7) + (x − 8) e ^ (x − 7) = (x − 7) e ^ (x − 7). Найдем нули производной на заданном отрезке: система: y' = 0; 6 ≤ x ≤ 8. ⇔ система: (x − 7) e ^ (x − 7) = 0; 6 ≤ x ≤ 8. ⇔ система: x − 7 = 0; 6 ≤ x ≤ 8. ⇔ x = 7. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: Наименьшим значением заданной функции на отрезке [ 6; 8 ] будет y (7) = − 1. Ответ: − 1.
- Производная дроби: y′ = (1·(x² + 1) − x·2x)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)².
- Знаменатель положителен, поэтому y′ = 0 при 1 − x² = 0, то есть x = 1 (корень x = −1 не входит в отрезок).
- Считаем значения: y(0) = 0; y(1) = 1/2 = 0,5; y(3) = 3/10 = 0,3.
- Наибольшее — 0,5 в точке x = 1.
- Проверка: при x < 1 производная положительна (функция растёт), при x > 1 отрицательна (падает) — значит в x = 1 максимум.
Ответ: 0,5
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №12