№13. Уравнение с развёрнутым ответом (2 балла)
Первое задание части 2: уравнение, которое надо решить полностью и, в пункте б), отобрать корни на отрезке. Здесь проверяют оформление, а не только ответ: нужны ОДЗ, преобразования и отбор.
Уравнение части 2 — это почти всегда смесь: тригонометрия с дробью или корнем, показательное с квадратным относительно степени, логарифмическое с заменой. Решение оформляют по шагам: ОДЗ → преобразования → решение → отбор корней (пункт б) → ответ.
- Начинай с ОДЗ: знаменатели не нули, под корнем неотрицательно, под логарифмом положительно, основание логарифма положительно и не равно 1.
- Замена переменной — главный инструмент: t = sin x, t = 2ˣ, t = log₂ x. После замены решаем квадратное уравнение и возвращаемся.
- Тригонометрические уравнения: сводим к sin/cos/tg от одной функции, затем используем формулы приведения, двойного угла или основное тождество.
- Отбор корней на отрезке удобно делать через двойное неравенство для целого параметра n или по тригонометрической окружности.
- Ответ в пункте б) — конкретные числа, а не серия.
Типичные ошибки. 1) Забывают ОДЗ и в ответ попадает корень, при котором знаменатель равен нулю. 2) Теряют серию решений: у cos x = a их две, у sin x = a — объединённая запись через (−1)ⁿ. 3) При отборе корней округляют π и получают неверные границы. 4) Оформляют «в одну строку» — эксперт не может проверить шаги, балл снижается. 5) В пункте б) указывают серию вместо конкретных чисел.
Порядок оформления: 1) ОДЗ (пусть коротко, но обязательно); 2) равносильные преобразования — каждое на новой строке; 3) замена переменной с возвратом; 4) общая серия корней; 5) отбор на отрезке через неравенство на n; 6) ответ: а) серия, б) конкретные корни.
Проверь себя
- Что входит в ОДЗ для уравнения с дробью, корнем и логарифмом?
- Почему при замене t = 2ˣ нужно писать условие t > 0?
- Как отобрать корни на отрезке, если они записаны через π?
Показательные решения
- Уравнение: (cos 2x + sin x)/√(sin(x − π/4)) = 0. Дробь равна нулю, когда числитель нуль, а знаменатель не нуль и определён.
- ОДЗ: под корнем должно быть положительное число: sin(x − π/4) > 0. Ноль знаменателя недопустим, поэтому неравенство строгое.
- Числитель: cos 2x + sin x = 0. Раскрываем cos 2x = 1 − 2sin²x: 1 − 2sin²x + sin x = 0, то есть 2sin²x − sin x − 1 = 0.
- Замена t = sin x: 2t² − t − 1 = 0, корни t = 1 и t = −1/2.
- sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πk. sin x = −1/2 даёт x = −π/6 + 2πk или x = 7π/6 + 2πk.
- Проверяем ОДЗ. Для x = π/2 + 2πk: sin(x − π/4) = sin(π/4 + 2πk) = √2/2 > 0 — корень подходит.
- Для x = −π/6 + 2πk: sin(−π/6 − π/4) = sin(−5π/12) < 0 — не подходит. Для x = 7π/6 + 2πk: sin(7π/6 − π/4) = sin(11π/12) > 0 — подходит.
- Итог пункта а): x = π/2 + 2πk и x = 7π/6 + 2πk, k ∈ Z.
- Пункт б): отрезок [11π/2; 7π]. Перебираем k. Для π/2 + 2πk: при k = 3 получаем 13π/2 ≈ 20,4 — попадает; при k = 2 будет 9π/2 < 11π/2. Для 7π/6 + 2πk: при k = 3 получаем 7π/6 + 6π = 43π/6 ≈ 22,5 > 7π — не входит.
- Ответ б): 13π/2.
Ответ: а) π/2 + 2πk, 7π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) 13π/2
Официальное решение из банка ФИПИ
а) Найдем область определения уравнения: sin (x − π/4) > 0 ⇔ 2 π k < x − π/4 < π + 2 π k ⇔ π/4 + 2 π k < x < 5 π/4 + 2 π k, k принадлежит Z. sin (x − π/4) > 0 ⇔ 2 π k < x − π/4 < π + 2 π k ⇔ ⇔ π/4 + 2 π k < x < 5 π/4 + 2 π k, k принадлежит Z. Найдем корни числителя, используем формулу cos 2 α = 1 − 2 sin² α: cos 2x + sin x = 0 ⇔ 2 sin² x − sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = 1, sin x = − 0,5, откуда x = π/2 + 2 π k,x = − π/6 + 2 π k,x = 7 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z. С учетом области определения уравнения получаем: x = π/2 + 2 π k,x = 7 π/6 + 2 π k,k принадлежит Z. б) Заметим, что π/2 + 2 π · 2 < 11 π/2 < π/2 + 2 π · 3 < 7 π < π/2 + 2 π · 4, значит, из первой серии корней указанному отрезку принадлежит только π/2 + 2 π · 3 = 13 π/2. Из неравенств 7 π/6 + 2 π · 2 < 11 π/2 < 7 π < 7 π/6 + 2 π · 3 следует, что ни один из корней второй серии не принадлежит указанному отрезку. Ответ: а) π/2 + 2 π k, 7 π/6 + 2 π k:k принадлежит Z; б) 13 π/2.
- Замечаем: 4ˣ = (2ˣ)². Обозначаем t = 2ˣ, при этом t > 0 (степень с положительным основанием всегда положительна).
- Уравнение превращается в квадратное: t² − 5t + 4 = 0.
- Корни: D = 25 − 16 = 9, t = (5 ± 3)/2, то есть t = 4 и t = 1.
- Возвращаемся к замене: 2ˣ = 4 даёт x = 2; 2ˣ = 1 даёт x = 0. Оба корня положительны по t, значит ограничение t > 0 выполнено.
- Проверка: при x = 2: 16 − 5·4 + 4 = 0 — верно; при x = 0: 1 − 5 + 4 = 0 — верно.
- Ответ: x = 0 и x = 2.
Ответ: x = 0; x = 2
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №13