№14. Стереометрия с доказательством (2 балла)
Задание части 2: пункт а) — доказать утверждение, пункт б) — найти объём, площадь или угол. Доказательство здесь всегда короткое, но опирается на свойства фигуры, а не на вычисления.
Стереометрическая задача части 2 строится по одному шаблону: сначала нужно доказать вспомогательное свойство (параллельность, перпендикулярность, отношение объёмов), потом посчитать величину. Пункт а) оценивается отдельно, поэтому его нужно писать явно — даже если ты сразу видишь ответ.
- Параллелепипед: противоположные грани параллельны и равны; диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Пирамида: объём V = S·h/3; в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания.
- Если плоскость отсекает часть тела, объём считают вычитанием: V(остатка) = V(целого) − V(отсечённого).
- Плоскость делит объём в отношении, равном отношению объёмов получившихся частей — это и есть суть пункта а).
- Перпендикулярность прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна всей плоскости.
- Теорема о трёх перпендикулярах часто нужна для доказательства перпендикулярности в пирамиде.
Типичные ошибки. 1) Пишут только вычисления, пропуская доказательство — теряется балл за пункт а). 2) В доказательстве ссылаются на «очевидность» чертежа без ссылки на свойство. 3) Считают объём всей фигуры вместо отсечённой части. 4) Путают высоту с боковым ребром. 5) Не доводят пункт б) до числа: ответ должен быть числом (или выражением), иначе балл не ставится.
Порядок: 1) кратко перечислить, что дано, и назвать фигуру; 2) доказать пункт а), опираясь на свойства (параллельность, подобие, перпендикулярность); 3) для пункта б) выбрать формулу, в которой одна неизвестная; 4) найти эту неизвестную из подобия или из прямоугольного треугольника; 5) подставить и посчитать.
Проверь себя
- Как найти объём части тела, если оно разрезано плоскостью?
- Что нужно, чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости?
- Почему в пункте а) полезно считать объём отсечённой пирамиды, а не всей фигуры?
Показательные решения
- Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, AD = 12, AB = 5, AA₁ = 8. Пункт а): доказать, что плоскость BDA₁ делит объём в отношении 1 : 5.
- Метод для пункта а): найти отсечённую часть и сравнить её объём с объёмом всего тела. Здесь плоскость BDA₁ отсекает пирамиду A₁ABD.
- Основание этой пирамиды — треугольник ABD, то есть половина основания параллелепипеда, а высота совпадает с высотой параллелепипеда. По формуле V = S·h/3 получаем, что объём пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда.
- Значит оставшаяся часть — это 5/6 объёма, и отношение двух частей равно 1 : 5. Пункт а) доказан одной ссылкой на формулу объёма пирамиды.
- Метод для пункта б): пирамида MB₁C₁D задана тремя точками основания и вершиной на ребре. Ищем площадь основания B₁C₁D (прямоугольный треугольник в грани) и высоту — перпендикуляр из точки M на плоскость основания AB₁C₁D.
- Высоту удобно находить через прямоугольный треугольник с вершиной M и основанием на прямой AB₁; длины берутся из условия AD = 12, AB = 5, AA₁ = 8, AM = 5.
- Дальше объём считается по формуле V = S·h/3. Точные числа этого задания смотри в официальном решении ниже — они зависят от конкретных длин, но структура решения всегда такая: площадь основания → высота → формула объёма.
Ответ: а) отношение 1 : 5 доказано; б) 50
Официальное решение из банка ФИПИ
а) Одна из полученных частей это треугольная пирамида A₁ABD. Её высота равна высоте параллелепипеда, а площадь её основания равна половине площади основания параллелепипеда. Тогда в силу формулы объема пирамиды получаем, что объем пирамиды A₁ABD относится к объему параллелепипеда как 1: 6. А это эквивалентно тому, что требуется доказать. б) Заметим, что V_MB₁C₁D = 1/3 S_B₁C₁D · h_M. Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов: S_B₁C₁D = 6 √(89). Основание пирамиды лежит в плоскости AB₁C₁D, поэтому высотой пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из точки M на эту плоскость. Опустим перпендикуляр ME на прямую AB₁. Поскольку ME AB₁ и ME AD (в силу того, что (AD) (AA₁B₁B)), отрезок ME является высотой пирамиды: ME = h_M. Треугольник AME подобен треугольнику ABB₁, значит, ME = (AM · AB)/(AB₁) = (25)/(√(89)), V_MB₁C₁D = 1/3 · 6 √(89) · (25)/(√(89)) = 50. Ответ: 50.
- Основание пирамиды — треугольник ABC, лежащий в нижней грани куба.
- Треугольник ABC — половина квадрата ABCD: его площадь 6·6/2 = 18.
- Высота пирамиды — расстояние от A₁ до плоскости нижней грани, то есть ребро AA₁ = 6.
- Объём: V = S·h/3 = 18 · 6 / 3 = 36.
- Проверка через долю куба: объём куба 6³ = 216, а 36 = 216/6 — пирамида занимает ровно шестую часть куба. Так и должно быть: у прямоугольного тетраэдра с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами длины 6 объём равен (1/6)·6³ = 36.
Ответ: 36
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №14