№15. Неравенство (2 балла)
Неравенство с логарифмами, степенями или дробями. Здесь важнее всего метод интервалов и внимательность к переменному основанию логарифма: его знак может переворачивать неравенство.
Неравенство решают методом интервалов: приводят к виду «выражение ≥ 0», находят нули числителя и знаменателя, отмечают их на прямой, определяют знаки на промежутках и записывают ответ с учётом ОДЗ. Логарифмы и корни требуют ещё и области определения.
- Логарифм: основание положительно и не равно 1; аргумент положителен. При основании больше 1 знак неравенства сохраняется, при основании меньше 1 — меняется на противоположный.
- log_a b > log_a c: если a > 1, то b > c; если 0 < a < 1, то b < c.
- Дробь ≥ 0 удобно решать методом интервалов: нули числителя (включаем) и знаменателя (исключаем).
- Замена переменной работает и в неравенствах: после неё знак определяют методом интервалов по t, затем возвращаются.
- Корень в знаменателе — строгое неравенство по ОДЗ; корень в числителе можно включать.
Типичные ошибки. 1) Переменное основание логарифма: забывают рассмотреть два случая (основание больше 1 и меньше 1). 2) Не учитывают ОДЗ и включают в ответ точки, где логарифм не определён. 3) Отмечают нули знаменателя как решение (они всегда выколоты). 4) При возведении в квадрат теряют ограничения. 5) Записывают ответ промежутками, не объединяя пересекающиеся части.
Порядок: 1) ОДЗ (все ограничения сразу); 2) преобразования: привести логарифмы к одному основанию, убрать суммы/разности в логарифм произведения/частного; 3) метод интервалов или замена; 4) пересечь с ОДЗ; 5) записать ответ объединением промежутков.
Проверь себя
- Как меняется знак неравенства при основании логарифма меньше 1?
- Почему нули знаменателя никогда не входят в ответ?
- Как решать сумму логарифмов с разными основаниями?
Показательные решения
- Неравенство: log₍₃ₓ₋₃₎3 + log₍₍ₓ₋₁₎²₎27 ≥ 2.
- ОДЗ: 3x − 3 > 0, 3x − 3 ≠ 1, (x − 1)² > 0, (x − 1)² ≠ 1, то есть x > 1, x ≠ 4/3, x ≠ 2.
- Шаг 1 — перейти к одному основанию. Переходим к основанию 3 и пользуемся формулой log_a b = 1/log_b a: получаем 1/log₃(3(x − 1)) + 3/log₃((x − 1)²) ≥ 2.
- Шаг 2 — упростить: log₃(3(x − 1)) = 1 + log₃(x − 1), а log₃((x − 1)²) = 2log₃(x − 1). Неравенство принимает вид 1/(1 + t) + 3/(2t) ≥ 2, где t = log₃(x − 1).
- Шаг 3 — метод интервалов: приводим к общему знаменателю и переносим 2 влево. По официальному решению получается (4t² − t − 3)/(2t(1 + t)) ≤ 0, откуда −1 < t ≤ −3/4 или 0 < t ≤ 1.
- Шаг 4 — вернуться к x: из −1 < log₃(x − 1) ≤ −3/4 следует 4/3 < x ≤ 1 + 1/⁴√27; из 0 < log₃(x − 1) ≤ 1 следует 2 < x ≤ 4.
- Шаг 5 — пересечь с ОДЗ (x > 1, x ≠ 4/3, x ≠ 2) и записать ответ объединением промежутков.
Ответ: (4/3; 1 + 1/⁴√27] ∪ (2; 4]
Официальное решение из банка ФИПИ
Перейдем к основанию 3 и упростим левую часть неравенства: логарифм по основанию (3x − 3) 3 + логарифм по основанию ((x − 1)²) 27 ≥ 2 ⇔ 1/(log₃ (3x − 3)) + (3)/(log₃ (x − 1)²) ≥ 2 ⇔ ⇔ 1/(log₃ (3 (x − 1))) + (3)/(log₃ (x − 1)²) ≥ 2 ⇔ 1/(1 + log₃ (x − 1)) + (3)/(2 log₃ (x − 1)) ≥ 2. Обозначим t = log₃ (x − 1), тогда 1/(1 + t) + 3/2t ≥ 2. Решим неравенство методом интервалов: 1/(1 + t) + 3/2t ≥ 2 ⇔ (5t + 3)/(2t² + 2t) ≥ 2 ⇔ (4t² − t − 3)/(2t (1 + t)) ≤ 0 ⇔ − 1 < t ≤ − 3/4, 0 < t ≤ 1. Тогда − 1 меньше log₃ (x − 1) ≤ − 3/4, 0 меньше log₃ (x − 1) ≤ 1. ⇔ 4/3 < x ≤ 1 + 1/(⁴√(3³)), 2 < x ≤ 4. Ответ: (4/3;1 + 1/(⁴√(27)) ] ∪ (2;4 ].
- Приводим правую часть к основанию 2: 8 = 2³.
- Получаем 2^(x² − 4) ≤ 2³. Основание 2 > 1, значит знак неравенства сохраняется и можно приравнять показатели: x² − 4 ≤ 3.
- Значит x² ≤ 7, то есть |x| ≤ √7 и −√7 ≤ x ≤ √7.
- Ответ: [−√7; √7].
- Проверка: при x = 0: 2^(−4) = 1/16 ≤ 8 — верно; при x = 3: 2^5 = 32 > 8 — не подходит, и 3 не входит в ответ.
Ответ: −√7 ≤ x ≤ √7
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №15