№16. Экономическая задача: кредит, вклад, оптимальный выбор (3 балла)
Задача про кредит или вклад с таблицей выплат. Решается таблицей и одним уравнением; главное — аккуратно записывать состояние долга после каждого шага.
Экономическая задача почти всегда описывает один из двух сценариев: (1) кредит, где долг сначала умножается на коэффициент (1 + r/100), а затем уменьшается на платёж; (2) вклад, где сумма растёт, и её сравнивают с целевой. Работаем таблицей: в каждой строке — долг в начале периода, начисление процентов, платёж, долг в конце.
Долг после процентов: S·(1 + r/100) · Платёж уменьшает долг: Sновый = S·(1 + r/100) − p
- Если долг должен уменьшаться равномерно (таблицей даны проценты от кредита), составляем уравнение для одного периода и находим платёж.
- Если платежи одинаковые (аннуитет), долг после n периодов равен нулю — это уравнение на p.
- Разница между суммой всех платежей и выданной суммой — это переплата (её часто и спрашивают).
- Проценты считают на текущий долг, а не на исходный, если в условии не сказано иначе.
- Ответ в экономической задаче обычно в рублях (или процентах), округлять нужно так, как требует условие.
Типичные ошибки. 1) Начисляют проценты на первоначальную сумму, а не на текущий долг. 2) Путают порядок: сначала проценты, потом платёж (в условиях ЕГЭ принят именно такой порядок). 3) Забывают последний период, после которого долг равен нулю. 4) Считают переплату как сумму платежей, не вычитая сам кредит. 5) Округляют промежуточные суммы до рублей — это накапливает ошибку, считай точно.
Порядок: 1) нарисовать таблицу периодов; 2) записать долг через коэффициент роста; 3) подставить известные платежи из условия; 4) решить уравнение относительно неизвестного; 5) проверить, что последний долг равен нулю (или что сумма платежей согласуется).
Проверь себя
- На какую сумму начисляются проценты в каждом периоде?
- Как найти переплату по кредиту?
- Почему в задачах с таблицей долга платежи обычно убывают?
Показательные решения
- Приём первый: не снижая общности, принять сумму кредита за 100 рублей — так все расчёты идут в удобных числах, а ответ получается в процентах от кредита.
- Приём второй: считать проценты на текущий долг и делать это до выплаты. В официальном решении выплаты идут 14-го числа: сначала банк начисляет процент, потом заёмщик платит.
- Заполняем таблицу по периодам. По условию остаток долга на день выплаты идёт по таблице 90%, 80%, 70%, 60%, 50%, 0% от суммы кредита.
- В первый период долг 100 руб. после начисления процентов становится 105 руб. (ставка 5% в месяц — её и находим из условия), а после выплаты должен стать 90 руб. Значит выплата 15 руб.
- Во втором периоде: долг 90 руб. → 94,5 руб. → остаток 80 руб., выплата 14,5 руб. Дальше так же: 14, 13,5, 13 руб.
- Последняя выплата закрывает остаток целиком: 52,5 руб. (это 50 руб. долга плюс проценты за последний месяц).
- Складываем все выплаты: 15 + 14,5 + 14 + 13,5 + 13 + 52,5 = 122,5 руб. Кредит был 100 руб., значит переплата 22,5 руб., то есть 22,5% от суммы кредита — это и есть ответ задания.
Ответ: 22,5 (% от суммы кредита)
Официальное решение из банка ФИПИ
Не снижая общности рассуждений, примем начальную сумму кредита за 100 руб. и будем считать, что выплаты производились 14 числа каждого месяца. Составим таблицу выплат: Дата | 14.02 | 14.03 | 14.04 | 14.05 | 14.06 | 14.07 Долг, руб. | 105 | 94,5 | 84 | 73,5 | 63 | 52,5 Выплата, руб. | 15 | 14,5 | 14 | 13,5 | 13 | 52,5 Остаток долга на день выплаты, руб. | 90 | 80 | 70 | 60 | 50 | 0 Остаток долга на день выплаты, % | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% Таким образом, полная сумма выплат равна 15 + 14,5 + 14 + 13,5 + 13 + 52, 5 = 122,5 руб., переплата составила 22,5%. Ответ: 22,5.
- Через год сумма выросла: 100 000 · 1,1 = 110 000.
- После снятия 20 000 осталось 90 000.
- За второй год сумма выросла: 90 000 · 1,1 = 99 000.
- Проверка на смысл: без снятия было бы 121 000, снятие 20 000 уменьшило итог примерно на 22 000 (плюс потерянные проценты) — 99 000 выглядит верно.
Ответ: 99 000 рублей
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №16