№17. Планиметрия: доказательство и вычисление (3 балла)
Планиметрическая задача части 2: пункт а) — доказать, пункт б) — найти длину или площадь. Здесь нужны свойства окружностей, подобие и умение вводить обозначения.
Планиметрия части 2 — это связка из двух пунктов: сначала доказательство геометрического факта (параллельность, равенство углов, касание), потом вычисление. Помогает единая схема: ввести обозначения для радиусов и отрезков, выписать все соотношения, которые даёт условие, и идти к цели.
- Касание двух окружностей: центры и точка касания лежат на одной прямой; при внешнем касании расстояние между центрами R + r, при внутреннем |R − r|.
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
- Если углы соответственные равны, прямые параллельны — это стандартный финал доказательства.
- Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos C; теорема синусов: a/sin A = 2R.
- Площадь: S = ab·sin C/2, S = p·r (через полупериметр и радиус вписанной окружности).
Типичные ошибки. 1) Доказательство «по рисунку»: пишут «видно, что параллельны». 2) Путают внутреннее и внешнее касание, отсюда неверное расстояние между центрами. 3) Вводят слишком много обозначений и теряются в них. 4) В пункте б) находят не ту величину, что спрашивают. 5) Округляют иррациональные длины и получают неверный ответ.
Порядок: 1) обозначить радиусы R и r (или стороны) и отметить точки касания; 2) выписать все прямые углы (касательная перпендикулярна радиусу) и равные углы; 3) доказать пункт а) через параллельность или подобие; 4) для пункта б) найти треугольник, в котором известны две стороны и угол, и применить теорему косинусов или подобие.
Проверь себя
- Где лежит точка касания двух окружностей относительно их центров?
- Чему равен угол между касательной и хордой?
- Когда удобнее теорема косинусов, а когда — теорема синусов?
Показательные решения
- Дано: две окружности касаются внешним образом в точке K; AB — общая касательная (A на первой, B на второй); BK пересекает первую окружность в D, AK пересекает вторую в C. Пункт а): доказать AD ∥ BC.
- Пункт а), шаг 1: провести общую касательную к окружностям в точке K и обозначить точку её пересечения с AB через M.
- Шаг 2: по свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Значит M — середина AB и KM = AB/2, то есть медиана треугольника AKB равна половине стороны, к которой проведена. Такой треугольник прямоугольный: ∠AKB = 90°.
- Шаг 3: вписанный угол AKD опирается на диаметр первой окружности (так как ∠AKD = 90°), значит AD — диаметр, и AD ⊥ AB. Аналогично BC ⊥ AB.
- Шаг 4: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой AB, параллельны. Значит AD ∥ BC — пункт а) доказан.
- Пункт б): принять радиусы за конкретные числа (в официальном решении R₁ = 4, R₂ = 1), из подобия треугольников BKC и AKD получить отношение сторон AD/BC = DK/KB = R₁/R₂ = 4.
- Дальше связать площади: S(AKD)/S(BKC) = 16, а их сумма равна площади треугольника, образованного касательной и хордами; из этого соотношения находится искомая длина. Ответ задания — 3,2.
Ответ: а) AD ∥ BC доказано; б) 3,2
Официальное решение из банка ФИПИ
а) Обозначим центры окружностей O1 и O2 соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD AB. Аналогично получаем, что BC AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны. б) Пусть, для определенности, радиус окружности с центром в точке O1 равен 4, а радиус окружности с центром в точке O2 равен 1. Треугольники BKC и AKD подобны, AD/BC = DK/KB = 4. Пусть S_BKC = S, тогда S_AKD = 16S. У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, (S_AKD)/(S_AKB) = DK/KB = AD/BC, то есть SAKB = 4S. Аналогично, SCKD = 4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S. Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что O₁H = O₁A − AH = O₁A − O₂B. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1. Получаем: O₂H = √(O₁O₂² − O₁H²) = 4, S_ABCD = (AD + BC)/(2) · AB = 20. Следовательно, 25S = 20, откуда S = 0,8 и SAKB = 4S = 3,2. Ответ: б) 3,2. Приведем решение пункта б) Рамиля Багавиева. Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что O₁H = O₁A − AH = O₁A − O₂B. Проведём к AD перпендикуляр O2H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O2HO1: O₂H = √(O₁O₂² − O₁H²) = 4. Из подобия треугольников AKD и AKB следует AK/BK = AD/BA = 2, таким образом, AK = 2BK. Применим теорему Пифагора к треугольнику AKB, находим: 16 = AB² = AK² + BK² = 4BK² + BK² = 5BK². Тогда BK = (4)/(√(5)), AK = (8)/(√(5)), откуда получаем: S_AKB = 1/2 AK · BK = 1/2 · (8)/(√(5)) · (4)/(√(5)) = 3,2.
- Ищем сторону, противолежащую известному углу B, поэтому применяем теорему косинусов: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos B.
- Подставляем: AC² = 49 + 64 − 2·7·8·0,5 = 113 − 56 = 57.
- Значит AC = √57.
- Проверка: сторона должна быть меньше суммы двух других (7 + 8 = 15) и больше их разности (1): √57 ≈ 7,55 — подходит.
- Ответ: √57.
Ответ: √57
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №17