№18. Задача с параметром (4 балла)
Самое сложное задание варианта. Нужно найти все значения параметра, при которых условие выполняется. Работает графический подход: строим картинку и смотрим, при каких положениях параметра она удовлетворяет требованию.
Задача с параметром — это всегда исследование. Разбирать её «в лоб» через дискриминанты почти безнадёжно; правильный путь — геометрический: переписать условие так, чтобы параметр стал «положением» фигуры (прямой, окружности, параболы), и посмотреть, при каких положениях выполняется требование.
- Уравнение прямой с параметром: y = a(x − x₀) + y₀ — пучок прямых через точку; параметр задаёт наклон.
- Окружность радиуса r с центром (x₀; y₀): (x − x₀)² + (y − y₀)² = r². Если в условии |x| + |y| = a — это ромб с вершинами на осях.
- Требование «нет решений» ⟺ графики не пересекаются; «единственное решение» ⟺ касание или одна точка пересечения.
- Симметрия помогает: если в условии есть |x| и x², картинка симметрична относительно оси Oy.
- Иногда удобнее выразить параметр через x: a = f(x) и исследовать функцию f — тогда ответ читается по её графику.
Типичные ошибки. 1) Разбирают только один случай из нескольких (например, забывают, что знаменатель может быть отрицательным). 2) Теряют граничные значения параметра, при которых решение единственное или отсутствует. 3) Строят график «на глаз» и не проверяют границы вычислением. 4) В ответе указывают значения параметра без проверки подстановкой. 5) Забывают про ОДЗ исходного уравнения, из-за чего в ответ попадают лишние a.
Порядок: 1) записать ОДЗ; 2) переписать условие в удобном для картинки виде (выразить параметр, разделить переменные); 3) построить эскиз (парабола, окружность, прямые); 4) определить, какие положения параметра дают нужное число решений; 5) на границах проверить подстановкой; 6) собрать ответ промежутками.
Проверь себя
- Почему в задачах с параметром удобно выражать параметр через переменную?
- Что означает требование «система не имеет решений» на языке графиков?
- Почему граничные значения параметра нужно проверять подстановкой?
Показательные решения
- Условие: найти все a, при которых система (x² + ax + a)/(x − 2a − 2) ≥ 0 и (1 + a)x > 8 не имеет решений.
- Начинаем со второго неравенства — оно линейное и сразу разбивает задачу на случаи. Если a = −1, получаем 0 > 8, то есть решений нет вообще: вся система не имеет решений, и a = −1 подходит.
- Если a > −1, второе неравенство даёт луч x > 8/(1 + a) — неограниченный вправо. Если a < −1, получаем луч x < 8/(1 + a) — неограниченный влево.
- Теперь первое неравенство. При a ≠ −1 его можно переписать, выделив множитель (1 + a) в числителе: (1 + a)(x + a/(1 + a))(x − 2(1 + a)) ≥ 0 при x ≠ 2(1 + a).
- Случай a > −1: тогда решения первого неравенства — два луча с концами в точках −a/(1 + a) и 2(1 + a), и один из этих лучей уходит в +∞. Второе неравенство тоже даёт луч в +∞, поэтому они пересекаются и решения есть при любом a > −1.
- Случай a < −1: лучи первого неравенства уходят в −∞ и ограничены, а второе неравенство даёт луч x < 8/(1 + a). Решения пропадут, если этот луч не пересекает множество решений первого неравенства.
- Сравниваем границы: условие отсутствия решений сводится к неравенству между 8/(1 + a) и концами лучей первого неравенства; при этом нужно не забыть выколотую точку x = 2(1 + a), где знаменатель обращается в нуль.
- Из сравнения границ получаем −3 ≤ a ≤ −1; значение a = −1 уже разобрано отдельно и тоже входит в ответ.
- Проверка границ: при a = −3 и a = −1 системы решений не имеют, а при a = 0 (случай a > −1) решения есть — значит ответ не потерян и лишнего не добавлено.
Ответ: −3 ≤ a ≤ −1
Официальное решение из банка ФИПИ
Рассмотрим второе неравенство системы (1 + a) x > 8. Если a = − 1, то неравенство, а значит, и не имеет решений. Если a > − 1, то решение неравенства — луч x > (8)/(1 + a). Если a < − 1, то решение неравенства — луч x < (8)/(1 + a). При a ≠ − 1 первое неравенство системы принимает вид система: (1 + a) (x + (a)/(1 + a)) (x − 2 (1 + a)) ≥ 0; x ≠ 2 (1 + a). Если a > − 1, то решением первого неравенства исходной системы будут два луча с концами в точках − (a)/(1 + a),2 (1 + a). Очевидно, что при a > − 1 решение системы будет содержать луч вида (b, +∞), где b — большее из чисел (8)/(1 + a), − (a)/(1 + a) и 2 (1 + a), а значит, будет иметь решение. Если a < − 1, то, в случае − (a)/(1 + a) = 2 (1 + a) при a < − 1 ⇔ a = − 2 первое неравенство исходной системы, а значит, и не будет иметь решений. В остальных случаях решением первого неравенства исходной системы будет полуинтервал с концами в точках − (a)/(1 + a), 2 (1 + a). Отметим, что точки x = 2 (1 + a) нет во множестве решений первого неравенства. Для того чтобы в этом случае не имела решений, необходимо и достаточно: система: a < − 1; a ≠ − 2; − (a)/(1 + a) ≥ (8)/(1 + a); 2 (1 + a) ≥ (8)/(1 + a). ⇔ система: a ≠ − 2; − 8 ≤ a < − 1; (1 + a)² ≤ 4. ⇔ − 3 ≤ a < − 2, − 2 < a < − 1. Учитывая случаи a = − 1, a = − 2, получаем ответ. Ответ: − 3 ≤ a ≤ − 1.
- Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант строго положителен: D = 16 − 4a > 0.
- Решаем: 4a < 16, то есть a < 4.
- Ответ: a < 4 (можно записать (−∞; 4)).
- Проверка на границе: при a = 4 уравнение x² − 4x + 4 = 0 имеет один корень (x = 2) — значит строгое неравенство правильное. При a = 3 корни 1 и 3 — два разных, всё сходится.
Ответ: a < 4
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №18