№19. Числа и их свойства (4 балла)
Олимпиадная по духу задача: нужно ответить на вопросы про числа — можно ли, приведите пример, найдите наибольшее. Здесь нет формул из справочника, зато есть делимость, оценки и конструкция примера.
Задание №19 состоит из нескольких пунктов (а, б, в), каждый про своё: можно ли построить пример, существует ли он вообще, какое значение максимально. Решение — это не вычисления, а рассуждение: оценка (почему больше нельзя) + пример (показывающий, что можно).
- Делимость: если число делится на 3, сумма цифр делится на 3; на 9 — сумма цифр делится на 9; на 5 — оканчивается на 0 или 5.
- Разложение на множители — основа: 1512 = 2³·3³·7.
- Геометрическая прогрессия: члены b, bq, bq², ... — если три члена образуют прогрессию, средний в квадрате равен произведению крайних.
- Арифметическая прогрессия: a, a + d, a + 2d — сумма крайних равна удвоенному среднему.
- Оценка: чтобы доказать «нельзя», показывают, что любая конструкция противоречит условию (например, произведение слишком велико или сумма слишком мала).
- Метод «от противного»: предположить существование и прийти к противоречию.
Типичные ошибки. 1) Приводят один пример и считают, что доказали невозможность (пример доказывает «можно», но не «нельзя»). 2) В пункте «найдите наибольшее» показывают пример, но не доказывают, что больше нельзя — за это балл снимают. 3) Забывают про условие «различные натуральные числа». 4) Не проверяют, что ответ отвечает на все подпункты. 5) Округляют или «подгоняют» разложение под ответ.
Стратегия: 1) прочитать все подпункты: обычно а) и б) — «нет/да» с коротким рассуждением, в) — наибольшее значение с доказательством; 2) разложить число на множители; 3) для «можно ли» — либо построить пример, либо доказать противоречие; 4) для «наибольшее» — сначала пример, затем оценка сверху.
Проверь себя
- Чем отличается доказательство «можно» от доказательства «нельзя»?
- Как использовать разложение на множители при поиске примера?
- Почему в заданиях на наибольшее значение нужна и оценка, и пример?
Показательные решения
- Читаем условие: пять различных натуральных чисел, произведение ровно 1512, и нужно ответить на три вопроса — сколько из них могут быть членами одной геометрической прогрессии.
- Раскладываем число на простые множители: 1512 = 2³ · 3³ · 7. Это разложение — главный инструмент: оно показывает, каких степеней в числе нет.
- Пункт а): если все пять чисел — члены геометрической прогрессии b/q², b/q, b, bq, bq², то их произведение равно b⁵ (знаменатели сокращаются). Уравнение b⁵ = 1512 не имеет натуральных решений: в разложении 1512 нет пятых степеней. Значит пяти таких чисел не существует — ответ «нет».
- Пункт б): четыре члена прогрессии b/q, b, bq, bq² и пятое число k дают произведение b⁴q²k = 2³·3³·7. Здесь тоже мешает разложение: b⁴ и q² — четвёртые и вторые степени, а в 1512 нет нужных четвёртых степеней простых множителей. Ответ «нет».
- Пункт в): три члена прогрессии — уже реально. Ищем тройку b, bq, bq², произведение которой делит 1512.
- Из разложения 1512 = 8 · 27 · 7 подбираем прогрессию 2, 6, 18 со знаменателем 3: её произведение 2·6·18 = 216, а 1512 : 216 = 7 — целое число.
- Остаётся дополнить набор до пяти различных натуральных чисел: берём 1 и 7. Получаем 1, 2, 6, 7, 18.
- Проверка: произведение 1·2·6·7·18 = 1512 — верно; три числа 2, 6, 18 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3. Ответ «да».
Ответ: а) нет; б) нет; в) да (пример: 1, 2, 6, 7, 18)
Официальное решение из банка ФИПИ
Случай а). Пусть числа b/q², b/q,b,bq,bq², где по условию b — натуральное число, q > 0,b 2,q ≠ 1 — искомые члены прогрессии. Их произведение равно b ^ 5 но уравнение b ^ 5 = 1512 не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует. Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов b/q,b,bq,bq², а пятое натуральное число равно k. Поскольку 1512 = 2³ · 3³ · 7 ^ 1, имеем: b ^ 4 q² k = 2³ · 3³ · 7 ^ 1, что невозможно для натуральных b ^ 4, q² и k поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим, однако, что знаменатель прогрессии q может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть q = m/n — несократимая дробь, m,n принадлежит N. Тогда bq² принадлежит N ⇒ b² ⇒ b ^ 4 ^ 8 ⇒ b ^ 4 q² k n ^ 6, что невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1. Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов b/q,b,bq, а четвертое и пятое натуральные числа равны k и l. Тогда b³ kl = 2³ · 3³ · 7 ^ 1. Положим в этом равенстве b = 6,k = 7,l = 1. Далее, полагая q = 2, получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1. Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
- Читаем условие буквально: число трёхзначное (разрядов ровно три) и сумма цифр равна 5. Значит, задача про выбор цифр, а не про длину записи.
- Чтобы трёхзначное число было наибольшим, сначала максимизируем старший разряд — сотни. Он может быть равен 5 (если взять 5, на остальные цифры останется 0).
- Если взять в сотни 4, число будет начинаться с 4 и окажется меньше любого числа, начинающегося с 5, — значит вариант с 5 лучше.
- Сумма цифр уже израсходована на старшую цифру, поэтому десятки и единицы — нули: получаем 500.
- Проверка: 5 + 0 + 0 = 5 — сумма подходит; любое другое трёхзначное с суммой 5 начинается не больше чем с 5 и меньше 500 либо равно ему (например, 410, 320, 500).
- Оценка с другой стороны: число не может начинаться с цифры больше 5, потому что тогда сумма цифр превысит 5. Значит 500 — действительно наибольшее.
Ответ: 500
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №19