№2. Векторы на плоскости: длина, сумма, скалярное произведение

Вектор — это направленный отрезок. На плоскости его записывают парой чисел (x; y): x показывает, на сколько вектор сдвигает вправо, y — на сколько вверх. Если даны точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то вектор AB имеет координаты (x₂ − x₁; y₂ − y₁) — «из конца вычитаем начало». Это единственная формула, которую надо помнить наизусть: остальное из неё выводится.

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) · |a| = √(x² + y²) · a·b = x₁x₂ + y₁y₂ · cos φ = (a·b) / (|a|·|b|)

• Сложение и вычитание — покоординатно: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂).
• Умножение на число: k·a = (kx; ky). Длина при этом умножается на |k|.
• Векторы перпендикулярны ⟺ их скалярное произведение равно нулю.
• Векторы параллельны (коллинеарны) ⟺ их координаты пропорциональны: x₁y₂ − x₂y₁ = 0.
• Середина отрезка: координаты — средние арифметические координат концов.
• Вектор с концами на клетчатой бумаге удобно считать по клеткам: (сколько вправо; сколько вверх).

Типичные ошибки. 1) Путают порядок вычитания: берут «начало минус конец» — вектор получается противоположным (и ответ меняет знак). 2) В скалярном произведении перемножают «крест-накрест» (x₁y₂ + x₂y₁) вместо «одноимённых» координат. 3) Забывают извлекать корень при поиске длины. 4) В заданиях с картинкой считают клетки по диагонали вместо проекций на оси.

Алгоритм: выписываем координаты всех векторов через вычитание координат точек (или по клеткам) → смотрим, что именно просят (длина, произведение, косинус, перпендикулярность) → подставляем в нужную формулу. Если в условии «найдите длину вектора a + b», сначала складываем координаты, потом считаем длину — и только так, не наоборот.

Проверь себя

1. Как найти координаты вектора AB, если известны координаты точек A и B?
2. Как по координатам понять, перпендикулярны ли векторы? А параллельны?
3. Напиши формулу длины вектора и объясни, откуда она берётся.

Показательные решения