№3. Стереометрия: объёмы и площади поверхности
Задание №3 — про пространственные тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Почти всегда нужно либо объём, либо площадь поверхности, либо длину по известному объёму. Формул немного, и все они в справочных материалах к экзамену — важно понимать, что в них подставлять.
Объём показывает, сколько «места» занимает тело. Для призмы и цилиндра это площадь основания, умноженная на высоту; для пирамиды и конуса — та же формула, но с множителем 1/3. Высота — это перпендикуляр между основаниями (или от вершины до плоскости основания), а не боковое ребро! Это ключевая тонкость задания №3.
V призмы = S·h · V пирамиды = S·h/3 · V цилиндра = πR²h · V конуса = πR²h/3 · V шара = 4πR³/3
- Площадь поверхности призмы: S = 2Sосн + Sбок; боковая поверхность прямой призмы — периметр основания на высоту.
- Пирамида: S = Sосн + Sбок, где боковая поверхность — сумма площадей боковых граней (у правильной пирамиды Sбок = P·a/2, a — апофема).
- Цилиндр: Sбок = 2πRh, полная S = 2πR(R + h). Конус: Sбок = πRl (l — образующая, l = √(R² + h²)).
- Сфера: S = 4πR² — ровно в четыре раза больше площади большого круга.
- В правильном треугольнике со стороной a: площадь √3a²/4, высота a√3/2. В квадрате со стороной a: диагональ a√2.
- Если все линейные размеры тела увеличили в k раз, объём вырос в k³, а площадь поверхности — в k².
Типичные ошибки. 1) Подставляют боковое ребро вместо высоты (у наклонной призмы или пирамиды это разные отрезки). 2) Забывают 1/3 в объёме пирамиды и конуса. 3) Считают площадь боковой поверхности вместо полной (и наоборот) — читай, что именно просят. 4) Путают радиус и диаметр. 5) Оставляют ответ с π, когда требуется целое число: значит, где-то должна сократиться иррациональность или π.
Алгоритм: определяем тело → записываем формулу, в которой ровно одна неизвестная → выражаем её буквами → подставляем числа. Если в условии даны «лишние» данные (например, площадь треугольника и объём пирамиды), это подсказка: неизвестная находится делением, и чертёж почти не нужен.
Проверь себя
- Чем высота призмы отличается от бокового ребра?
- Напиши формулы объёма пирамиды и конуса — что в них общего?
- Во сколько раз увеличится объём куба, если его ребро увеличить в 3 раза? А площадь поверхности?
Показательные решения
- Дано: правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S, точка O — пересечение биссектрис треугольника ABC.
- В правильном треугольнике биссектрисы совпадают с медианами и высотами и пересекаются в центре. Значит O — центр основания, а SO — высота пирамиды (в правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания).
- Ищем SO, то есть высоту h. Известны площадь основания Sосн = 2 и объём V = 6.
- Формула объёма пирамиды: V = Sосн · h / 3.
- Выражаем высоту: h = 3V / Sосн = 3·6 / 2 = 9.
- Проверка: 2 · 9 / 3 = 6 — совпало с объёмом.
Ответ: 9
Официальное решение из банка ФИПИ
Отрезок OS высота треугольной пирамиды SABC, ее объем выражается формулой V = 1/3 S_ABC · SO. Таким образом, SO = (3V)/(S_ABC) = (3 · 6)/(2) = 9. Ответ: 9.
- Запишем объёмы: V₁ = πR₁²h₁ = 12, V₂ = πR₂²h₂.
- По условию h₂ = 3h₁ и R₂ = R₁/2.
- Подставим: V₂ = π·(R₁/2)²·3h₁ = π·(R₁²/4)·3h₁ = (3/4)·πR₁²h₁.
- Значит V₂ = (3/4)·V₁ = (3/4)·12 = 9.
- Проверка «на пальцах»: уменьшение радиуса вдвое уменьшает объём в 4 раза (12 → 3), увеличение высоты втрое увеличивает в 3 раза (3 → 9).
Ответ: 9
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №3