№5. Сложные события: дерево исходов, «хотя бы раз», независимые этапы
То же классическое определение, но событие собирается из нескольких шагов. Здесь выручает дерево исходов и правило «умножаем вдоль, складываем между».
Сложное событие — это когда результат опыта зависит от нескольких независимых этапов: сначала выбрали фабрику, потом она сделала брак; сначала первый стрелок, потом второй. Рисуем дерево: каждый этап — развилка, вероятность вдоль ветви перемножаем, а вероятности разных ветвей, ведущих к нужному событию, складываем.
- Независимые события: P(A и B) = P(A) · P(B).
- Несовместные события: P(A или B) = P(A) + P(B).
- «Хотя бы один раз из n» = 1 − P(ни разу) = 1 − (1 − p)ⁿ.
- Формула Бернулли для ровно k успехов из n: P = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ, где C(n,k) — число сочетаний.
- Число сочетаний C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): C(5,2) = 10, C(4,2) = 6, C(3,1) = 3.
- Средняя доля и вероятность — одно и то же число: 0,45 в условии означает вероятность 0,45 для случайно выбранного объекта.
Типичные ошибки. 1) Складывают вероятности вдоль ветви (0,45 + 0,03 вместо произведения). 2) В «хотя бы раз» перебирают варианты и теряют один из них. 3) Забывают про множитель C(n,k), когда порядок не важен. 4) Считают p и 1 − p как одно и то же («попадёт» и «не попадёт»). 5) Не проверяют ответ на здравый смысл: вероятность не может быть больше 1 или сильно отличаться от долей в условии.
Алгоритм: (1) выписать этапы; (2) для каждого этапа выписать вероятность «нужного» и «ненужного» исхода; (3) перечислить ветви, дающие нужное событие; (4) перемножить внутри ветвей и сложить ветви; (5) если событие «хотя бы один» — считать от противоположного.
Проверь себя
- Почему вероятности вдоль ветви перемножаются?
- Как посчитать вероятность «хотя бы одного» события из нескольких независимых опытов?
- Что означает множитель C(n,k) в формуле Бернулли?
Показательные решения
- В условии два независимых опыта — две лампы, каждая перегорает за год с вероятностью 0,3. Спрашивают вероятность события «хотя бы одна лампа не перегорит».
- Прямой перебор дал бы три случая (цела первая, цела вторая, целы обе), и в спешке легко потерять один из них. Поэтому берём противоположное событие: «ни одна лампа не осталась целой», то есть перегорели обе.
- Перегорания ламп независимы, значит вероятность «обе перегорели» — произведение: 0,3 · 0,3 = 0,09.
- Искомая вероятность — дополнение до единицы: 1 − 0,09 = 0,91.
- Проверка на здравый смысл: ответ больше 0,3 (с двумя лампами шанс сохранить свет заметно выше, чем с одной) и меньше 1 — всё сходится.
Ответ: 0,91
Официальное решение из банка ФИПИ
Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,3 · 0, 3 = 0,09. Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0, 09 = 0,91. Ответ: 0,91.
- Здесь два разных этапа с разными вероятностями: первый выстрел уничтожает цель с вероятностью 0,4, а каждый следующий — с вероятностью 0,6. Спрашивают наименьшее число выстрелов n, при котором вероятность уничтожить цель не меньше 0,98.
- Событие «цель уничтожена хотя бы за один из n выстрелов» снова считаем от противоположного: цель не уничтожена за n выстрелов — значит, все n выстрелов промахнулись.
- Вероятности промаха: при первом выстреле 1 − 0,4 = 0,6, при каждом следующем 1 − 0,6 = 0,4. Выстрелы независимы, поэтому вероятность промахнуться все n раз равна 0,6 · 0,4ⁿ⁻¹.
- Условие «вероятность уничтожения не меньше 0,98» равносильно «вероятность промаха не больше 0,02»: нужно 0,6 · 0,4ⁿ⁻¹ ≤ 0,02.
- Подставляем n по порядку: n = 1 → 0,6; n = 2 → 0,24; n = 3 → 0,096; n = 4 → 0,0384; n = 5 → 0,01536. Условие впервые выполняется при n = 5.
- Проверка: 1 − 0,01536 = 0,98464 ≥ 0,98, а при четырёх выстрелах 1 − 0,0384 = 0,9616 < 0,98 — значит, четырёх не хватает, и пяти ровно достаточно.
Ответ: 5
Официальное решение из банка ФИПИ
Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 1 − 0, 4 = 0,6, а при каждом следующем 1 − 0, 6 = 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна: 0,6 · 0,4 ^ (n − 1). Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства 0,6 · 0,4 ^ (n − 1) < 0,02 ⇔ (2/5) ^ (n − 1) < 1/30. Последовательно проверяя значения n, равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является n = 5. Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов. Ответ: 5. Примечание. Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов. Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1) · 0, 4 = 0,24. Р(3) = Р(2) · 0, 4 = 0,096. Р(4) = Р(3) · 0, 4 = 0,0384. Р(5) = Р(4) · 0, 4 = 0,01536. Последняя вероятность < 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени. Приведем другое решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства 0,4 + 0,6 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,4 · 0,6 +... + 0,6² · 0,4 ^ (n − 2) ≥ 0,98. 0,4 + 0,6 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,6 + + 0,6 · 0,4 · 0,4 · 0,6 +... + 0,6² · 0,4 ^ (n − 2) ≥ 0,98. В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №5