№6. Простейшие уравнения: логарифмические, показательные, иррациональные, тригонометрические

Главный принцип: уравнение сводят к равенству двух степеней с одинаковым основанием или к равенству логарифмов с одинаковым основанием. Тогда основания можно «убрать» и приравнять то, что под ними.

• log₂ x = 7 ⟺ x = 2⁷ = 128. То есть определение логарифма: log_a b = c ⟺ aᶜ = b.
• log_a x = log_a y ⟺ x = y (при x > 0, y > 0) — одинаковые основания можно отбросить.
• aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⟺ f(x) = g(x) — тоже при одинаковых основаниях.
• √(f(x)) = g(x) требует g(x) ≥ 0, дальше возводим в квадрат: f(x) = g²(x).
• Степени: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), a⁰ = 1 — это то, что чаще всего нужно для «одинаковых оснований».
• Тригонометрия: sin x = a даёт x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn; cos x = a даёт x = ±arccos a + 2πn; tg x = a даёт x = arctg a + πn.

Типичные ошибки. 1) Забывают про область определения: под логарифмом должно быть положительное число, поэтому корень обязательно проверяют подстановкой. 2) Путают log₂ 8 = 3 и 2⁸ = 256. 3) При возведении в квадрат иррационального уравнения не отбрасывают посторонний корень. 4) Оставляют ответ «x = 128», хотя просят найти корень (или наоборот). 5) В тригонометрическом уравнении в №6 ответ — одно число (обычно арктангенс), а не серия: читай условие.

Алгоритм: (1) привести все степени/логарифмы к одному основанию; (2) «снять» основание; (3) решить получившееся простое уравнение; (4) проверить область определения подстановкой; (5) записать ответ так, как просят — числом, если это №6.

Проверь себя

1. Как из уравнения log₃ x = 4 получить x без логарифма?
2. Почему после решения логарифмического уравнения нужна проверка?
3. Какие степени чисел 2, 3 и 5 до пятой включительно ты помнишь наизусть?

Показательные решения