№7. Вычисления и преобразования: степени, корни, логарифмы, тригонометрия

Почти все задания №7 решаются тремя наборами правил: свойства степеней, свойства логарифмов и тригонометрические формулы. Смысл один — свести выражение к виду, который считается устно.

aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · a^(−n) = 1/aⁿ

log_a(xy) = log_a x + log_a y · log_a(x/y) = log_a x − log_a y · log_a xⁿ = n·log_a x · a^(log_a x) = x

• Корень — та же степень: √a = a^(1/2), поэтому свойства степеней работают и с корнями.
• Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a. Отсюда log_a b = 1 / log_b a.
• Основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1; tg x = sin x / cos x.
• Формулы двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x.
• Табличные значения: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, tg 45° = 1, sin 45° = √2/2.

Типичные ошибки. 1) «Логарифм суммы» — это не сумма логарифмов: log(a + b) ≠ log a + log b. Складывать можно только логарифмы произведения. 2) Перепутаны знаки при делении степеней (aᵐ⁻ⁿ, а не aᵐ⁺ⁿ). 3) Забывают, что an^(log_a x) = x — это прямой способ посчитать «страшное» выражение. 4) Считают 2^(log₂ 5) как 2·5.

Алгоритм: (1) привести всё к одному основанию или к табличным значениям; (2) сгруппировать по свойствам: произведения — в суммы логарифмов, степени с одинаковым основанием — в одну; (3) посчитать; (4) проверить порядок величины (например, log больше 1, если аргумент больше основания).

Проверь себя

1. Чему равно log_a(xy) и почему это не то же, что log_a x + y?
2. Как посчитать 5^(log₅ 7)?
3. Перечисли свойства степеней, которые ты применяешь чаще всего.

Показательные решения