№8. Графики производной и касательная
В задании №8 по графику производной (или касательной) спрашивают про поведение самой функции. Здесь важно не считать, а читать график: знак производной, её нули, геометрический смысл.
Производная — это скорость изменения функции. Геометрически она равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = tg α = k. Если касательная задана уравнением y = kx + b, то производная в точке касания равна k — это и есть ответ во многих заданиях.
f′(x₀) = k касательной = tg α · (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ · (eˣ)′ = eˣ · (ln x)′ = 1/x
- Если производная положительна — функция возрастает; отрицательна — убывает.
- Нули производной → точки экстремума (плюс на минус — максимум, минус на плюс — минимум).
- Промежутки возрастания ищем там, где график производной выше оси Ox.
- Касательная y = kx + b: чем больше |k|, тем круче прямая; наклон вверх — k > 0, вниз — k < 0.
- Производная обращается в ноль в вершине параболы — там функция имеет минимум или максимум.
Типичные ошибки. 1) Отвечают по графику функции, хотя на рисунке график производной — читай подпись под рисунком! 2) Путают «возрастает» (производная > 0) и «убывает». 3) Считают целые точки не внутри промежутка, а в его концах. 4) В задаче про касательную берут координату точки вместо наклона. 5) Забывают, что знак производной меняется в нулях, поэтому рядом с нулём нужно смотреть на график, а не угадывать.
Алгоритм для графика производной: (1) убедиться, что изображена именно производная; (2) найти участки выше и ниже оси (рост и падение функции); (3) для суммы целых точек аккуратно выписать эти целые значения по оси Ox; (4) сложить. Алгоритм для касательной: (1) найти k из уравнения касательной или по клеткам; (2) это и есть f′(x₀).
Проверь себя
- Как по графику производной понять, где функция возрастает?
- Чему равна производная в точке касания, если касательная задана уравнением y = −3x + 5?
- В точке максимума производная равна нулю — что при этом происходит со знаком производной слева и справа?
Показательные решения
- На рисунке — график производной f′(x) функции f(x) на интервале (−6; 6). Промежутки возрастания функции — там, где производная неотрицательна: график лежит выше оси Ox или касается её.
- Читаем по рисунку: производная неотрицательна на (−6; x₁] и на [2; 6), где x₁ лежит между −6 и −5 (точка, в которой график впервые поднимается к оси Ox).
- Выписываем целые точки внутри этих промежутков. В (−6; x₁] целых точек нет: x₁ строго между −6 и −5.
- В [2; 6) целые точки: 2, 3, 4, 5 (шестёрка не входит — интервал открыт).
- Складываем: 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
- Проверка: точки, где производная отрицательна (например, от x₁ до 2), в ответ не попадают — там функция убывает.
Ответ: 14
Официальное решение из банка ФИПИ
Промежутки возрастания данной функции f (x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; x₁ ] и [ 2; 6), где − 6 < x₁ < − 5. Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14. Ответ: 14.
- Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, значит у касательной k = 7.
- Производная функции равна угловому коэффициенту касательной: y′ = 2x + 8 = 7.
- Решаем: 2x = −1, x = −0,5.
- Проверка: в точке x = −0,5 производная 2·(−0,5) + 8 = 7 — совпало с k прямой.
- Ответ: абсцисса точки касания −0,5.
Ответ: −0,5
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №8