№9. Прикладные задачи: готовая формула и вопрос про величину
Здесь дана физическая (или бытовая) формула и вопрос: при каком значении величины выполняется условие. Решать ничего не надо — надо подставить, решить простое уравнение или неравенство и выбрать подходящий по смыслу корень.
Тип задания: «Известно, что ... выражается формулой ... Найдите (наибольшее/наименьшее) значение ...». Работаем механически: (1) выписываем формулу; (2) подставляем все известные числа; (3) решаем уравнение или неравенство относительно неизвестной; (4) отбрасываем корни, которые не подходят по смыслу (время не может быть отрицательным, температура — ниже абсолютного нуля и т. п.).
- Чаще всего встречаются: линейная зависимость, квадратное уравнение, дробь, корень, показательная функция, логарифм.
- Если вопрос «найдите наибольшее значение» — решаем уравнение относительно параметра и берём наибольший из подходящих корней.
- Если вопрос «не менее / не более» — это неравенство, решаем его с учётом знака.
- Единицы измерения сокращаются сами: если все данные в одной системе, ответ получается в нужных единицах.
- Ответ обычно целое число или десятичная дробь — если получилось «страшное» выражение, проверь арифметику.
Типичные ошибки. 1) Подставляют числа не в ту величину (перепутаны индексы). 2) Забывают про знак: при возведении в квадрат появляются два корня, второй часто отбрасывают именно по смыслу. 3) Не приводят единицы (минуты и часы, метры и километры). 4) Округляют в середине решения. 5) В задачах про «не позднее» путают строгое и нестрогое неравенство.
Порядок действий: сначала записать формулу в столбик и подписать, что означает каждая буква; затем подставить данные; затем решить то, что получилось, и только в конце — проверить корни на смысл.
Проверь себя
- Что делать первым делом, когда в задаче дана готовая формула?
- Почему после решения уравнения нужно проверять корни «по смыслу»?
- Как быстро найти длительность, если условие выполнено между двумя моментами времени?
Показательные решения
- Дано: l(t) = l₀(1 + α·t), где l₀ = 10 м, α = 1,2·10⁻⁵, а длина рельса не должна превышать 10,008 м (зазор 8 мм).
- Подставляем известное: 10·(1 + 1,2·10⁻⁵·t) ≤ 10,008.
- Делим обе части на 10: 1 + 1,2·10⁻⁵·t ≤ 1,0008.
- Вычитаем единицу: 1,2·10⁻⁵·t ≤ 0,0008.
- Делим: t ≤ 0,0008 / 1,2·10⁻⁵ = (8·10⁻⁴)/(1,2·10⁻⁵) = 8/1,2 · 10 = 66,6…
- По смыслу нужна наибольшая целая температура: 66 °C. Проверка: при 66 °C удлинение 10·1,2·10⁻⁵·66 ≈ 0,0079 м < 0,008 м — зазор сохранён.
Ответ: 25 °C (по официальному ответу банка при данных конкретного задания)
Официальное решение из банка ФИПИ
Задача сводится к решению уравнения l (t °) − l₀ = 3 мм при заданных значениях длины l₀ = 10 м и коэффициента теплового расширения α = 1,2 · 10 ^ (−5) (° C) ^ (−1): l (t °) − l₀ = 3 · 10 ^ (−3) ⇔ l₀ (1 + α · t °) − l₀ = 3 · 10 ^ (−3) ⇔ l₀ α t ° = 3 · 10 ^ (−3) ⇔ ⇔ 10 · 1,2 · 10 ^ (−5) t ° = 3 · 10 ^ (−3) ⇔ t ° = (3 · 10 ^ (−3))/(1,2 · 10 ^ (−4)) ⇔ t ° = 25 ° C. Ответ: 25.
- Нужно h(t) ≥ 6, то есть 2 + 9t − 5t² ≥ 6.
- Переносим всё влево: −5t² + 9t − 4 ≥ 0, или 5t² − 9t + 4 ≤ 0 (умножили на −1 и развернули знак).
- Решаем уравнение 5t² − 9t + 4 = 0: дискриминант D = 81 − 80 = 1, корни t = (9 ± 1)/10, то есть 0,8 и 1.
- Парабола ветвями вверх, значит неравенство выполнено между корнями: 0,8 ≤ t ≤ 1.
- Длительность: 1 − 0,8 = 0,2 секунды.
- Проверка: при t = 0,9 высота h = 2 + 8,1 − 4,05 = 6,05 м ≥ 6 — верно.
Ответ: 0,2 с
← Все разделы курса по профильной математике · Решать задания №9