№10. Площади и периметры участков

Начинай с вопроса: ищут длину или площадь? Если речь о заборе, изгороди, проводе, дорожке — это периметр, то есть сумма длин сторон, и ответ получается в метрах. Если о газоне, плитке, покраске, площади под домом — это площадь, и ответ в квадратных метрах. Перепутать эти величины — самая обидная ошибка: пересчитывать приходится всё заново.

Периметр прямоугольного участка считают как 2(a + b), то есть две длины плюс две ширины. Дальше всё зависит от формулировки. Если одну сторону огораживать не нужно — например, она выходит к воде или к уже готовой стене, — складывай только те стороны, по которым действительно ставят забор. Если участок делят изгородью на две части, внутренняя перегородка добавляет ещё одну длину, обычно равную одной из сторон участка.

Площадь прямоугольника — произведение сторон. Когда внутри участка стоит дом, вольер или вырыт пруд, их площадь из площади участка вычитают. Если пруд круглый и его площадь дана в условии прямо числом, её тоже просто вычитают — считать ничего не надо. Отдельная группа задач — подобие: фонарь и человек, столб и провод, колодец с «журавлём». Там получаются два прямоугольных треугольника с общим углом, поэтому они подобны, а отношение соответствующих сторон у них одинаковое.

P(прямоугольника) = 2(a + b) S(прямоугольника) = a · b S(квадрата) = a² подобие: AB / CD = BE / DE (соответствующие стороны пропорциональны) прямоугольный треугольник: гипотенуза² = катет² + катет² ответ в метрах — для длины, в квадратных метрах — для площади

Ещё одна разновидность задания — прямоугольный треугольник в бытовом виде: диагональ телевизионного экрана и его высота, провод, натянутый от столба к дому, лестница у стены. Во всех таких задачах работает одна теорема: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Главное — понять, какая сторона здесь гипотенуза: это самая длинная сторона, и лежит она напротив прямого угла. У экрана и у натянутого провода гипотенузой будет именно наклонная линия, а не высота и не расстояние по земле.

• Определи, что ищут: метры (длина, периметр) или квадратные метры (площадь).
• Нарисуй участок схемой и подпиши на ней все числа из условия: так сразу видно, какие стороны складывать.
• Для забора складывай только огораживаемые стороны, не забывая внутренние перегородки.
• Площадь дома, вольера или пруда вычитай из площади участка, а не прибавляй к ней.
• В задачах с фонарём и тенью сразу ищи два подобных прямоугольных треугольника с общим углом.
• Из пропорции находи сначала большую длину (до конца тени), а потом вычитай меньшую — разность и есть ответ.

Типичные ошибки. 1) Путают периметр и площадь: у одного и того же участка это совершенно разные числа, и измеряются они по-разному. 2) Забывают про внутреннюю изгородь или, наоборот, огораживают сторону, которая уже закрыта. 3) Вычитают площадь дома не из площади участка, а из его периметра. 4) В задачах про тень останавливаются на расстоянии до конца тени: так появляется частый неверный ответ 25, хотя спрашивают расстояние от фонаря до человека, то есть 17. 5) Пишут в бланк ответ вместе с единицами измерения — нужны только числа.

Порядок действий: (1) реши, какую величину ищут — длину или площадь; (2) нарисуй схему и подпиши данные; (3) выпиши формулу: периметр, площадь или пропорция подобия; (4) подставь числа и посчитай; (5) если спрашивают расстояние по земле, проверь, не нужно ли вычесть длину тени или ширину дорожки.

Проверь себя на правдоподобие: забор вокруг дачного участка не может быть длиннее суммы всех его сторон, площадь газона меньше площади всего участка, а расстояние от фонаря до человека меньше расстояния до конца тени. Такая быстрая прикидка ловит большинство арифметических ошибок до того, как ответ уйдёт в бланк.

Показательные решения