№11. Стереометрия: объём и площадь поверхности
Задание №11 — про объём многогранника, нарисованного на рисунке: это ступенчатая деталь из прямоугольных брусков, и все нужные размеры подписаны числами. Считать придётся немного: разрезать фигуру на параллелепипеды и сложить их объёмы. Трудность одна — не потерять часть детали и не перепутать, какие рёбра перемножать.
Начнём с самого простого. Объём прямоугольного параллелепипеда (бруска) равен произведению трёх его измерений — длины, ширины и высоты: V = abc. Если деталь на рисунке состоит из двух таких брусков, её объём равен сумме объёмов частей: при склеивании ничего не исчезает и не появляется. Значит, вся задача сводится к тому, чтобы увидеть, на какие бруски распадается фигура.
В условии почти всегда стоит фраза «все двугранные углы прямые». Двугранный угол — угол между двумя гранями; «прямой» означает 90°, то есть все грани стоят друг к другу под прямым углом. Для тебя это готовая подсказка: фигуру можно разрезать по видимой линии ступеньки на обычные прямоугольные параллелепипеды и считать каждую часть отдельно.
Объёмы: призма V = Sосн · h · пирамида V = (1/3) · Sосн · h · цилиндр V = πR²h · конус V = (1/3) · πR²h · шар V = (4/3) · πR³
Площади поверхности: призма Sполн = 2Sосн + Pосн · h · пирамида Sбок = (1/2) · Pосн · l · цилиндр Sполн = 2πR² + 2πRh · конус Sполн = πR² + πRl · шар S = 4πR²
Как читать эти формулы. У призмы и цилиндра объём — «площадь основания на высоту»: тело одинаково по всей высоте. У пирамиды и конуса объём в три раза меньше, потому что они сужаются к вершине. У шара объём и площадь зависят только от радиуса. В площади поверхности цилиндра два круга (дно и крышка) плюс развёртка боковой части — прямоугольник со сторонами 2πR и h; у конуса — круг и сектор, где l — образующая. В задачах с рисунком чаще просят объём, но формулы площади нужны: без них не сравнить, во сколько раз выросла поверхность.
Отдельно запомни правило про изменение размеров, оно экономит целое решение. Если все линейные размеры фигуры увеличить в k раз, площади поверхности вырастут в k² раз, а объёмы — в k³ раз. Радиус шара увеличили в 4 раза — площадь поверхности стала больше в 16 раз, а объём в 64 раза. Причина простая: площадь собирается из двух измерений, объём — из трёх.
Отдельная тонкость — про площадь поверхности. У детали, склеенной из брусков, в площадь поверхности входят только внешние грани: те, которыми части прижаты друг к другу, снаружи не видны и в ответ не попадают. А вот объёмы частей складываются всегда, без исключений, потому что объём показывает, сколько места внутри. В этой позиции в основном спрашивают объём, но формулы площади поверхности нужны: они пригодятся и в №13, и в задачах про тела вращения.
| Что нарисовано | Как считать объём |
|---|---|
| Деталь из двух брусков разной высоты | Разрезать по линии ступеньки и сложить объёмы частей |
| Брусок с вырезанным уголком | Из объёма целого бруска вычесть объём выреза |
| Крест или фигура из единичных кубов | Посчитать кубики: объём каждого равен 1 |
| Вопрос «во сколько раз больше» | Возвести отношение линейных размеров в куб |
- Найди брусок и выбери три ребра, выходящие из одной вершины: перемножать нужно только их.
- Разрежь фигуру по линии ступеньки на два бруска и сложи объёмы: V = V₁ + V₂.
- Второй способ — из объёма большого бруска вычесть объём вырезанного куска; ответ обязан получиться тем же.
- Проверка: объём всей детали всегда больше объёма её самой крупной части.
- Если в сумме оказалось ровно одно слагаемое, значит вторая часть фигуры потеряна.
- В вопросах «во сколько раз» для объёма бери куб отношения размеров, для площади поверхности — квадрат.
- Длины рёбер на рисунке подписаны числами: это длины, а не площади граней, складывать их между собой нельзя.
Типичные ошибки. 1) Перемножают размеры чужого бруска: тогда вместо 56 в ответ уходит 40 или 16. 2) Считают объём только одной части — это как раз и даёт ответы 40 или 16, а в задаче с ответом 7 — ответ 6, то есть объём одного большого бруска. 3) Вместо суммы частей берут разность, хотя выступающая часть добавляется, а не вычитается. 4) Считают по формуле объёма площадь поверхности. 5) В задачах «во сколько раз» возводят в квадрат вместо куба и наоборот.
И про оформление ответа. Объём измеряется в кубических единицах, но в бланк переносится только число: если получилось 56, пишем 56. Дробный ответ записывай десятичной дробью с запятой, как принято в базе. Промежуточные произведения не округляй: 5 · 4 · 2 считается точно, и любое округление здесь только испортит ответ. Перед записью ещё раз проверь, что итог больше самой крупной части детали.
Порядок действий: (1) посмотри на рисунок и реши, на какие бруски распадается деталь; (2) для каждого бруска выпиши три ребра из одной вершины; (3) перемножь их — получишь объём части; (4) сложи объёмы частей; (5) проверь, что итог больше самой крупной части, и только после этого записывай ответ.
Проверь себя
- Как найти объём прямоугольного параллелепипеда?
- Что означает фраза «все двугранные углы прямые»?
- Во сколько раз вырастет объём, если увеличить все размеры в 3 раза? А площадь поверхности?
- Почему объём всей детали больше объёма самой крупной её части?
Показательные решения
- Смотрим на рисунок рядом: деталь ступенчатая, все двугранные углы прямые, значит фигуру можно разрезать на два прямоугольных параллелепипеда.
- Первая часть — крупный брусок с рёбрами 5, 4 и 2. Это три ребра, выходящие из одной вершины, поэтому его объём V₁ = 5 · 4 · 2 = 40.
- Вторая часть — брусок с рёбрами 2, 2 и 4: V₂ = 2 · 2 · 4 = 16.
- Объём всей детали равен сумме объёмов частей: V = V₁ + V₂.
- Считаем: V = 5 · 4 · 2 + 2 · 2 · 4 = 40 + 16 = 56.
- Проверка: 56 больше объёма каждой части по отдельности, значит обе части учтены. Записываем ответ.
Ответ: 56
Официальное решение из банка ФИПИ
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 5, 4, 2 и 2, 2, 4: V = V₁ + V₂ = 5 · 4 · 2 + 2 · 2 · 4 = 56. Ответ: 56.
- На рисунке рядом у детали есть основной брусок и небольшой выступ; все двугранные углы прямые, поэтому считаем их по отдельности.
- Основной брусок имеет рёбра 2, 3 и 1: V₁ = 2 · 3 · 1 = 6.
- Выступ — кубик с рёбрами 1, 1 и 1: V₂ = 1 · 1 · 1 = 1.
- Складываем объёмы: V = V₁ + V₂ = 2 · 3 · 1 + 1 · 1 · 1 = 6 + 1 = 7.
- Проверка: 7 больше 6, то есть больше объёма основного бруска, — значит выступ учтён.
- Ответ: 7.
Ответ: 7
Официальное решение из банка ФИПИ
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 2, 3, 1 и 1, 1, 1: V = V₁ + V₂ = 2 · 3 · 1 + 1 · 1 · 1 = 6 + 1 = 7. Ответ: 7.
← Все разделы курса по базовой математике · Решать задания №11