№12. Прямоугольный треугольник, тригонометрия

Главные определения стоит выучить сразу и намертво. В прямоугольном треугольнике синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к гипотенузе, тангенс — противолежащего к прилежащему. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда самая длинная. Отсюда сразу два контроля: синус и косинус острого угла меньше единицы, а катет короче гипотенузы.

sin A = a/c · cos A = b/c · tg A = a/b · sin²A + cos²A = 1 · c² = a² + b²

Дальше — несколько фактов, которыми решается половина заданий позиции. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам и приходит под прямым углом, поэтому она сразу создаёт два прямоугольных треугольника. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит сторона ромба и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним, а вместе со смежным внутренним он даёт 180°.

Ещё одна группа заданий — чистая работа с углами. Здесь пригодятся четыре факта: сумма углов треугольника равна 180°; смежные углы вместе дают 180°; внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В заданиях с окружностью вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, а угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой.

Ещё одно полезное соотношение — основное тригонометрическое тождество sin²A + cos²A = 1. Оно позволяет переходить от синуса к косинусу и обратно, когда в условии дана одна из функций, а нужна другая. Знак при извлечении корня выбирай по чертежу: у острого угла и синус, и косинус положительны.

Как выбрать инструмент в конкретной задаче. Даны две стороны — теорема Пифагора. Дана сторона и синус, косинус или тангенс — определение функции. Дана высота или медиана в равнобедренном треугольнике — сначала дели основание пополам, а потом считай прямоугольный треугольник. Даны диагонали ромба — работай с их половинками. Порядок всюду один: сначала прямоугольный треугольник, потом нужное отношение.

Ответ в этой позиции — число, часто десятичная дробь с одной или двумя цифрами после запятой: 0,6 или 0,75. Дроби вида 3/4 переводи в десятичные, а в задачах про углы ответ дают в градусах, но знак градуса в бланк не пишут. Если получилось громоздкое выражение с корнями, перепроверь выкладки: числа в банке подобраны так, чтобы корень извлекался, а ответ выходил аккуратным.

• Ищи в чертеже прямоугольный треугольник: часто его надо достроить высотой или использовать половинки диагоналей.
• Сначала определи, где гипотенуза: она лежит напротив прямого угла.
• Если известны две стороны — теорема Пифагора, если сторона и угол — определения sin, cos, tg.
• В равнобедренном треугольнике дели основание пополам и работай с половиной.
• В ромбе половинки диагоналей — катеты, сторона ромба — гипотенуза.
• Иррациональность вроде √7 не мешает: работай с ней как с числом, а сокращай в самом конце.
• Ответ записывай десятичной дробью, как в условии: 3/4 = 0,75.

И несколько слов про ромб с параллелограммом: задания с ними встречаются часто. В параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам. В ромбе к этому добавляются равные стороны и перпендикулярные диагонали, поэтому ромб распадается на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Именно в таком треугольнике и живут нужные синусы и косинусы.

Типичные ошибки. 1) Путают прилежащий и противолежащий катет — ответ получается перевёрнутым: вместо 0,75 выходит 1,5, вместо 0,6 — 0,8. 2) В равнобедренном треугольнике берут всё основание вместо его половины. 3) В ромбе делят пополам сторону вместо диагонали. 4) Записывают в ответ найденную длину вместо синуса: в банке к задаче про синус неверным ответом стоит 15 — это высота треугольника. 5) Округляют промежуточные корни и теряют точность. 6) Забывают тождество sin²A + cos²A = 1 и не могут перейти от одной функции к другой.

Порядок действий: (1) отметь прямой угол и подпиши, где гипотенуза; (2) если треугольник равнобедренный или это ромб, проведи высоту либо используй диагонали, чтобы получить прямоугольный треугольник; (3) выпиши нужное отношение — синус, косинус или теорему Пифагора; (4) считай без округлений в середине; (5) проверь, что синус меньше единицы, и запиши ответ десятичной дробью.

Проверь себя

1. Что такое синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника?
2. Почему в равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам?
3. Как из диагоналей ромба получить прямоугольный треугольник?
4. Как проверить ответ, если в задаче просят синус угла?

Показательные решения