№13. Стереометрия: части фигур

Смысл задания такой: дана фигура и её часть, например параллелепипед и пирамида, у которой основание занимает половину основания параллелепипеда, а высота та же. Сами размеры не даны и не нужны: нужно понять, какая доля объёма приходится на часть. Сравнение всегда идёт по множителям — доля основания, доля высоты и коэффициент формы.

Параллелепипед V = abc = Sосн · h · пирамида V = (1/3) · Sосн · h · цилиндр V = πR²h · конус V = (1/3) · πR²h · шар V = (4/3) · πR³ · сфера S = 4πR²

Как сравнивать доли. Если высота у тел одинаковая, объёмы относятся так же, как площади оснований: основание меньше в 2 раза — объём меньше в 2 раза. Пирамида и конус при том же основании и высоте всегда в 3 раза меньше призмы и цилиндра — это коэффициент 1/3. Коэффициенты перемножаются: у пирамиды, основание которой составляет половину основания параллелепипеда при той же высоте, доля равна (1/3) · (1/2) = 1/6 объёма параллелепипеда.

Вторая группа заданий — про подобие. Если одно тело является увеличенной копией другого с коэффициентом k (например, шары радиусов 4 и 1 или конус и конус, отсечённый плоскостью), то объёмы относятся как k³, а площади поверхности — как k². Отношение радиусов 4 : 1 даёт отношение объёмов 4³ = 64 и отношение площадей 4² = 16. Так же работает конус: плоскость через середину высоты отсекает конус с коэффициентом 1/2, его объём в 8 раз меньше — из объёма 32 получается 4.

Про формат ответа. Здесь ответ почти всегда целое число или короткая десятичная дробь: 64, 1,5, 22. Если получилось выражение с π или с корнями, значит где-то не сократилось: в задачах про части фигур все общие множители обязаны уходить, ведь сравниваются тела одной формы.

Иногда спрашивают не про объём, а про площадь поверхности — например, во сколько раз площадь поверхности одного шара больше площади другого. Логика та же, но коэффициент другой: сравниваем квадраты радиусов вместо кубов. Для цилиндра полезно помнить, что площадь боковой поверхности равна 2πRh: при увеличении радиуса вдвое она вырастет вдвое, а объём — вчетверо, потому что там радиус стоит в квадрате.

• Сравнивай тела при одинаковой высоте: если высоты разные, сначала вырази их отношение.
• Собери общую долю из множителей: 1/3 у пирамиды и конуса, 1/2 у половины основания, k³ у подобных тел.
• Площадь основания нужна только как отношение — считать её отдельно не требуется.
• Для шара держи в голове: объём — куб радиуса, площадь поверхности — квадрат радиуса.
• Размеры бери из условия, а не с рисунка: чертёж схематичный, не в масштабе.
• Проверяй смысл ответа: часть всегда меньше целого, а «во сколько раз» — число не меньше единицы.

И ещё про рисунок. Он нужен, чтобы понять, какая часть фигуры выделена и как она расположена, но не для измерений: чертежи в банке схематичные, без масштаба, а шары так и вовсе рисуют условно. Все размеры бери из условия, а рисунок используй как подсказку о взаимном расположении тел.

Типичные ошибки. 1) В формуле объёма пирамиды теряют множитель 1/3: вместо 1,5 из объёма 9 получается 4,5. 2) Забывают половину основания — тогда выходит 3. 3) Для объёмов берут квадрат отношения радиусов вместо куба: рядом с верным ответом 64 в банке стоят 4 и 16. 4) Меняют местами объём и площадь поверхности: площадь растёт как k², объём как k³. 5) Измеряют размеры по картинке линейкой — рисунок условный, а шары на нём вообще нарисованы без масштаба.

Порядок действий: (1) определи, что именно сравнивают — часть и целое или два подобных тела; (2) для части выпиши, как она получается из целого: какая доля основания и какая доля высоты; (3) собери общий коэффициент и раздели или умножь объём целого; (4) для подобных тел найди коэффициент подобия k и возведи его в куб для объёма или в квадрат для площади; (5) проверь ответ по смыслу.

Проверь себя

1. Чему равно отношение объёмов двух подобных тел с коэффициентом подобия k?
2. Какую долю от объёма призмы составляет пирамида с тем же основанием и высотой?
3. Почему для шаров объёмы относятся как кубы радиусов?
4. Что проверять в ответе, если задача просит «во сколько раз»?

Показательные решения