№14. Вычисления с дробями и степенями

Порядок действий обычный: сначала то, что в скобках, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание. Дроби встречаются трёх видов, и переводить их друг в друга нужно свободно: обыкновенная (3/4), десятичная (0,75) и смешанное число (1 1/6 = 7/6). Десятичную дробь удобно записывать обыкновенной, когда знаменатель даёт хорошее сокращение: 2,4 = 24/10 = 12/5.

Когда какой вид дроби удобнее. Десятичные дроби хороши в сложении и вычитании: 0,86 и 0,4 складываются как обычные числа. Обыкновенные дроби хороши в умножении и делении, потому что сокращаются. Отсюда рабочий приём: если в выражении есть умножение или деление на дробь, переводи всё в обыкновенные дроби; если нужно только сложить или вычесть, десятичные удобнее.

Ещё одна привычка, которая экономит нервы: не решай всё выражение в голове. Перепиши его в строчку и упрощай по кускам — сначала скобку, потом множитель, и только в конце перемножь результаты. Тогда ошибка остаётся внутри одного куска, и её легко найти.

Отдельно про знаки, потому что на них теряется больше всего баллов. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри неё. Минус перед дробью относится ко всей дроби, а не только к числителю. Два минуса подряд дают плюс. Если оба слагаемых в скобке отрицательные, модули складываются, а знак остаётся минусом.

a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) · a/b : c/d = a/b · d/c · a/b · n = (a · n)/b · 1 1/6 = 7/6

Четыре правила закрывают почти всё задание. Первое: чтобы сложить или вычесть дроби, приведи их к общему знаменателю, удобнее к наименьшему общему кратному. Второе: смешанное число перед умножением переводи в неправильную дробь. Третье: деление на дробь — это умножение на обратную дробь. Четвёртое: сокращай до умножения, а не после: числа становятся маленькими, и считать проще.

a^m · a^n = a^(m+n) · a^m : a^n = a^(m−n) · (a^m)^n = a^(mn) · a^0 = 1 · a^(−n) = 1/a^n

Степени в этой позиции встречаются реже, но правила те же, что и в алгебре. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, а отрицательный показатель означает единицу, делённую на эту степень. Удобно помнить и то, что 10⁻¹ = 0,1, а 10⁻² = 0,01: так десятичные дроби связаны со степенями десятки.

• Сначала расставь порядок действий и подчеркни, что делаешь первым.
• Смешанные числа переводи в неправильные дроби: 1 1/6 = 7/6.
• Десятичные дроби записывай со знаменателем 10 или 100: 2,4 = 24/10.
• Общий знаменатель — наименьшее общее кратное: для 8 и 6 это 24.
• Деление заменяй умножением на обратную дробь, а потом сокращай.
• Следи за знаком: если в скобках оба слагаемых отрицательны, модули складываются, а минус сохраняется.
• Перед записью ответа прикинь его грубо: 49/10 близко к 5, значит −4,9 правдоподобно.

Полезно знать наизусть несколько соответствий — тогда прикидка ответа занимает секунды: 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2; 1/8 = 0,125; 1/10 = 0,1. Сравнивая результат с этими числами, ты сразу видишь грубую ошибку в разрядах: ответ 49 вместо 4,9 такую проверку не пройдёт.

Типичные ошибки. 1) Складывают дроби, складывая отдельно числители и отдельно знаменатели, — так делать нельзя. 2) Теряют минус: в банке к выражению с ответом −4,9 типичным неверным ответом стоит 4,9. 3) Переворачивают делимое вместо делителя: тогда вместо 0,4 получаются 4 или 2,5. 4) Округляют промежуточные результаты и приносят в ответ лишние цифры. 5) Путают порядок действий и умножают раньше, чем посчитали скобку. 6) Забывают, что отрицательный показатель степени переворачивает дробь.

Порядок действий: (1) расставь порядок операций; (2) переведи все числа в удобный вид — смешанные и десятичные в обыкновенные дроби; (3) выполни действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю; (4) замени деление умножением на обратную дробь и сократи; (5) посчитай результат и проверь знак и примерный размер ответа.

Проверь себя

1. Как разделить число на обыкновенную дробь?
2. Как привести дроби 7/8 и 1/6 к общему знаменателю?
3. Что означает отрицательный показатель степени?
4. Почему нельзя складывать дроби по правилу «числитель с числителем, знаменатель со знаменателем»?

Показательные решения