№15. Проценты, доли и округление

Процент — это сотая доля: 1% = 1/100 = 0,01. Значит, 45% — это 0,45, а 55% — это 0,55. Чтобы найти процент от числа, умножь число на долю: 55% от стоимости — это стоимость, умноженная на 0,55. Если же известна часть и её доля, а нужно целое, — делят: целое = часть : доля. Это главное различие задания: «найти процент от числа» — умножение, «восстановить целое по части» — деление.

1% = 1/100 = 0,01 · доля = процент/100 · часть = целое · доля · целое = часть : доля

Доли и проценты переводятся друг в друга через деление на 100. Пятая часть — это 1/5, то есть 100% : 5 = 20%. Отношение 3 : 2 означает, что всего 5 частей, и проигравший получил 2 из них. Полезные ориентиры, которые стоит помнить: половина — 50%, четверть — 25%, пятая часть — 20%, десятая — 10%. Они позволяют считать устно и сразу видеть грубые ошибки.

Теперь самое коварное место — «на сколько процентов» и «во сколько раз». Это разные вопросы. «Во сколько раз больше» — просто отношение: было 100, стало 400, значит вчетверо. «На сколько процентов больше» — сравнение с прежним значением, которое принято за 100%: если число выросло в 4 раза, новое значение составляет 400% от старого, а прирост равен 400% − 100% = 300%. Если число уменьшилось в два раза, осталось 50% прежнего, значит уменьшение составило 50%. Правило одно: сначала вырази новое значение в процентах от старого, а потом вычти 100%.

Округление. Округляя до целых, смотрят на первую отброшенную цифру: если это 5, 6, 7, 8 или 9 — округляют вверх, то есть с избытком; если 0, 1, 2, 3 или 4 — вниз, то есть с недостатком. Но в практических задачах выбор диктует смысл, а не цифра. Когда спрашивают, какое наибольшее число предметов можно купить, берут целую часть частного — округление с недостатком, потому что на следующую штуку денег может не хватить. Когда считают, сколько нужно денег или упаковок, округляют с избытком: неполной упаковки не бывает. И никогда не округляй в середине решения — только финальный ответ.

• Целое — всегда 100%, и скидка с наценкой считаются от первоначальной цены.
• После уценки на 45% остаётся 55% прежней стоимости: 100% − 45% = 55%.
• Часть находим умножением на долю, целое — делением на долю.
• «Во сколько раз» — это отношение, «на сколько процентов» — отношение минус 100%.
• Наибольшее число покупок — целая часть частного, округление с недостатком.
• Количество предметов и денег в ответе — число без единиц измерения и без знака рубля.
• Проверяй по смыслу: цена после скидки меньше исходной, а число людей или предметов целое.

И про копейки. В задачах с деньгами ответ бывает нецелым, и это нормально: важно, чтобы он получился из верного рассуждения, а не из прибавления скидки к уже сниженной цене. Если цены даны в рублях и копейках, переведи всё в копейки или работай десятичными дробями, но не округляй до рублей в середине решения — иначе копейки превратятся в рубли.

Типичные ошибки. 1) Скидку прибавляют к новой цене вместо деления на её долю — именно так появляется неверный ответ 1116,5 там, где правильный ответ 1400. 2) Считают проценты от новой цены, а не от первоначальной. 3) Путают «во сколько раз» и «на сколько процентов»: вместо 300 пишут 4, вместо 50 — 2. 4) Округляют вверх там, где нужно целое число покупок, и покупают лишнее. 5) Принимают номер доли за величину процента: «пятая часть» — это 20%, а не 5%. 6) Округляют промежуточные вычисления и теряют копейки, которые потом превращаются в рубли.

Порядок действий: (1) определи, что принято за 100%, — обычно это первоначальная цена или общее число; (2) переведи проценты в долю, разделив на 100, и посчитай долю после изменения: 100% − 45% = 55%; (3) реши, что неизвестно: часть ищем умножением, целое — делением; (4) если вопрос «на сколько процентов», найди отношение нового к старому и вычти 100%; (5) проверь ответ по смыслу.

Проверь себя

1. Что принимают за 100% в задачах про скидку?
2. Пятая часть — это сколько процентов?
3. Чем отличается ответ на вопрос «во сколько раз больше» от «на сколько процентов больше»?
4. Когда результат округляют с недостатком, а когда с избытком?

Показательные решения