№16. Вычисления с корнями и степенями

Начнём с корня. Запись √a означает такое неотрицательное число, квадрат которого равен a: √49 = 7, потому что 7² = 49. Под корнем не может стоять отрицательное число, поэтому выражения вроде √(−4) в заданиях не встречаются. Из определения сразу вытекают два рабочих правила: корень из произведения равен произведению корней (√(x·y) = √x · √y) и корень из частного равен частному корней (√(x/y) = √x / √y).

√(x·y) = √x · √y при x, y ≥ 0 · √(x/y) = √x / √y · (√a)² = a при a ≥ 0 a² − b² = (a − b)(a + b) · aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · a⁻ⁿ = 1/aⁿ · a⁰ = 1

Главная идея задания: перед извлечением корня разложи подкоренное выражение на множители так, чтобы среди них нашёлся полный квадрат. Например, 63 = 9 · 7, поэтому √63 = 3√7, а 175 = 25 · 7, поэтому √175 = 5√7. И отдельно запомни формулу разности квадратов: если под корнем стоит a² − b², её сразу сворачивают в (a − b)(a + b) — тогда возводить большие числа в квадрат не придётся вообще.

Со степенями всё устроено так же строго: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Отрицательный показатель — это не «минус в ответе», а переворот дроби: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, а (3/5)⁻¹ = 5/3. Основание берут положительным и не равным единице — только тогда свойства степеней работают без оговорок.

Отдельно про ответ. В №16 ответ — всегда число, поэтому обыкновенную дробь переводят в десятичную: 2/5 = 0,4. Перед записью полезно прикинуть размер ответа: корень из выражения с числами около 65 никак не может оказаться ни 1089, ни 9 — он где-то между 30 и 40. Такая грубая прикидка отсекает половину неверных ответов ещё до проверки.

• Разложи подкоренное число на множители и ищи полный квадрат: 9, 16, 25, 36, 49, 100, 121, 144, 169, 196.
• Произведение корней объединяй под одним корнем: √63 · √7 = √(63 · 7), а потом ищи в произведении одинаковые множители.
• Разность квадратов под корнем сворачивай по формуле — никогда не вычитай сами числа.
• В произведении скобок (a − b)(a + b) с корнями средние слагаемые взаимно уничтожаются, остаётся разность подкоренных чисел.
• В дроби со степенями приведи числитель и знаменатель к одному основанию и работай только с показателями: сначала умножение, потом вычитание.
• Дробный ответ записывай десятичной дробью через запятую (0,4), если в задании требуется число.

Типичные ошибки. 1) Вычитают числа вместо разложения: √(65² − 56²) — это не 65 − 56. 2) Находят подкоренное выражение и забывают извлечь корень: пишут 1089 вместо 33. 3) Объединяют корни, но не доводят дело до полного квадрата: получают 441 вместо 21. 4) Путают свойства степеней: при возведении в степень показатели умножают, а не складывают. 5) Ошибаются в знаке показателя: −6 − (−8) = 2, а не −14. 6) Оставляют ответ обыкновенной дробью, когда требуется десятичная.

Порядок действий в задании №16: (1) посмотри на структуру выражения — это разность квадратов, произведение корней или дробь со степенями; (2) приведи его к удобному виду: сверни формулу, объедини корни, приведи степени к одному основанию; (3) найди под корнем полный квадрат и вынеси его; (4) посчитай до конца, дроби переведи в десятичные; (5) проверь себя обратным действием — возведи ответ в квадрат или подставь его в показатель.

Проверь себя

1. Почему √(65² − 56²) нельзя заменить на 65 − 56?
2. Как из √(63 · 7) получить 21 — какое правило и какой полный квадрат ты используешь?
3. Чем отличаются действия с показателями при возведении степени в степень и при делении степеней с одним основанием?
4. Как проверить ответ 21, не пересчитывая задание заново?

Показательные решения