№17. Уравнения: от линейных до показательных

Уравнение — это вопрос «при каком значении x равенство станет верным». Решать уравнение значит заменять его на более простое, у которого ровно те же корни; такая замена называется равносильным переходом. В базе почти каждое задание решается за два-три таких перехода, поэтому главное — не спешить и следить за тем, чтобы каждый шаг не добавлял и не терял корни.

Линейное уравнение ax + b = 0 даёт единственный корень x = −b/a. Квадратное ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac: при D > 0 корней два, x = (−b ± √D)/(2a), при D = 0 корень один, при D < 0 корней нет. Если коэффициенты удобные, те же корни быстрее получить по теореме Виета: сумма корней равна −b/a, а произведение равно c/a.

Рациональное уравнение содержит дробь с x в знаменателе. Первый шаг здесь — ОДЗ: знаменатель не может обращаться в ноль, поэтому корень, при котором он обнуляется, в ответ не идёт, даже если формально подошёл. Иррациональное уравнение содержит x под знаком корня: его приводят к виду √f(x) = g(x), и возводить в квадрат можно только после того, как корень уединён, а найденный корень обязательно проверяют — подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Показательное уравнение сводится к равенству показателей: если aᵘ = aᵛ, где a > 0 и a ≠ 1, то u = v. Поэтому обе части записывают степенью одного и того же числа: 64 = 2⁶, 16 = 2⁴, 1/125 = 5⁻³, 1/2 = 2⁻¹. Логарифмическое уравнение решается похожим образом: разность логарифмов с одним основанием — это логарифм частного, после чего приравнивают аргументы, а ОДЗ проверяют отдельно.

ax + b = 0 ⟺ x = −b/a · D = b² − 4ac · x = (−b ± √D)/(2a) · x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a √f = g ⟺ f = g² при g ≥ 0 · aᵘ = aᵛ ⟺ u = v при a > 0, a ≠ 1 · a⁻ⁿ = 1/aⁿ дробь с x в знаменателе: знаменатель ≠ 0 · log₂ f − log₂ g = log₂ (f/g), ОДЗ: f > 0, g > 0

• Сначала определи тип уравнения: линейное, квадратное, с дробью, с корнем, показательное — от этого зависит первый шаг.
• Убери всё, что мешает: квадратное приведи к виду ax² + bx + c = 0, иррациональное — к виду √f = g.
• Показательное уравнение: разложи правую часть на множители и запиши её степенью того же основания, что и слева, затем приравняй показатели.
• Дробь с x в знаменателе: выпиши ОДЗ до решения, а в конце отбрось корни, которые обнуляют знаменатель.
• Если корней несколько и просят меньший, сравнивай их по числовой прямой: из −8 и −2 меньше −8.
• Подстановка найденного корня в исходное уравнение занимает двадцать секунд и ловит почти все ошибки со знаками.

Типичные ошибки. 1) Забывают перенести слагаемое с нужным знаком: из x² + 10x = −16 получают x² + 10x − 16 = 0. 2) Перепутывают знаки коэффициентов при подсчёте дискриминанта. 3) Указывают больший корень, хотя в условии просят меньший. 4) Возводят в квадрат, не уединив корень, и получают посторонние корни. 5) Забывают ОДЗ в уравнениях с дробью, корнем или логарифмом. 6) В показательном уравнении не приводят обе части к одному основанию и «решают» его как линейное.

Универсальный порядок действий: (1) запиши уравнение в стандартном виде и определи его тип; (2) выпиши ОДЗ, если есть знаменатель, корень или логарифм; (3) сделай равносильный переход — свернул формулу, уединил корень, привёл к одному основанию; (4) реши получившееся простое уравнение; (5) проверь корень подстановкой и, если просили меньший корень, выбери его по числовой прямой.

Проверь себя

1. Как определить по внешнему виду уравнения, какой равносильный переход нужен?
2. Почему в показательном уравнении ответ может быть отрицательным?
3. Зачем проверять подкоренное выражение после возведения в квадрат?
4. Как из двух корней −8 и −2 выбрать меньший, не выписывая числовую прямую?

Показательные решения