№18. Сравнение чисел на координатной прямой

Задания этой позиции бывают двух видов. В первом на прямой отмечены точки, а в столбце даны выражения с буквой (чаще всего с числом m), и нужно понять, какое выражение стоит в какой точке. Во втором в левом столбце стоят неравенства, а в правом — их решения, и нужно разобрать каждое неравенство отдельно, а потом сопоставить его с вариантом.

Как читать рисунок с точками. На оси всегда подписаны целые отметки, например −2, −1, 0 и 1. Если точка лежит между двумя подписанными числами, то и само число заключено между ними: точка между −1 и 0 — это примерно −1/2. Такой грубой оценки хватает: подставь m ≈ −1/2 в каждое выражение, посчитай результаты и расставь их по возрастанию, как точки на прямой. Если приближённые значения забылись, сравнивай квадраты чисел — порядок и знак при этом сохраняются.

Полезно помнить, как ведут себя действия с отрицательным m. Умножение на число больше единицы увеличивает модуль и уводит точку влево, поэтому 3m лежит левее m. Возведение в куб отрицательного числа, модуль которого меньше единицы, наоборот, придвигает точку к нулю: m³ правее, чем m. А деление на минус меняет знак: значение −m/2 окажется справа от нуля.

если m < 0 и k > 1, то km < m (точка уходит влево) · если −1 < m < 0, то m³ ближе к нулю, чем m −m/2 > 0 при m < 0 · a⁻¹ = 1/a, например 0,6⁻¹ = 1/0,6 = 5/3 · 2⁻¹ = 1/2 (а не −2)

Во втором виде задания неравенство решают как обычно, но следят за двумя вещами — ОДЗ и знаком при переходе. Для логарифма log₂ x нужно условие x > 0, поэтому в ответ вида «x ≤ …» обязательно входит ограничение снизу. Основание 2 больше единицы, значит функция возрастает и знак неравенства не переворачивается: log₂ x ≥ 1 даёт x ≥ 2¹ = 2, а log₂ x ≤ −1 даёт 0 < x ≤ 2⁻¹ = 1/2. Дробные неравенства вида x(1 − x) > 0 решают методом интервалов: отмечают нули на прямой и расставляют знаки.

• Оценивай не «на глаз», а через подстановку: заменяй m удобным близким числом и считай каждое выражение.
• Чтобы оценить √n, ищи два соседних полных квадрата: 25 < 26 < 36, значит 5 < √26 < 6.
• Отрицательный показатель степени — переворот дроби: 2⁻¹ = 1/2, 0,6⁻¹ = 5/3.
• Сравнивай не сами корни, а их квадраты, если приближённые значения не помнятся: порядок чисел сохраняется.
• В заданиях с неравенствами сначала ОДЗ, потом каждое неравенство по отдельности, и только затем сопоставление с вариантами.
• Проверь порядок цифр в ответе: они идут в том же порядке, что буквы в условии (слева направо по прямой).

Типичные ошибки. 1) Сравнивают значения «на глаз», не проверяя знак: у отрицательного m умножение и возведение в куб сдвигают точку в разные стороны. 2) Забывают ОДЗ логарифма и пишут x ≤ 1/2 вместо 0 < x ≤ 1/2. 3) Путают 2⁻¹ с −2 и ставят границу решения не там, где нужно. 4) Переворачивают знак неравенства, хотя основание больше единицы. 5) Записывают цифры ответа не в том порядке: сначала идёт значение для буквы А, потом для Б и так далее.

Порядок действий: (1) прочитай, что с чем сопоставляется — точки и выражения или неравенства и решения; (2) для точек оцени число m по рисунку и подставь его в каждое выражение; (3) расставь полученные значения слева направо и сопоставь их с точками; (4) для неравенств проверь ОДЗ, реши каждое и выбери подходящий вариант; (5) собери ответ из цифр в порядке букв А, Б, В, Г или a, b, c, d.

Проверь себя

1. Как по рисунку понять, между какими целыми числами заключено m?
2. Куда сдвинется точка, если отрицательное число, меньшее единицы по модулю, возвести в куб?
3. Почему в задании с логарифмом ответ обязательно содержит условие x > 0?
4. В каком порядке записываются цифры ответа в задании на соответствие?

Показательные решения