№19. Числа и их свойства: цифровая запись и делимость
В №19 нужно самому построить или найти число с набором свойств: кратное 19, с заданной суммой цифр, со всеми различными цифрами. Готовой формулы нет — есть приёмы, которые сжимают перебор с тысяч чисел до нескольких вариантов, и обязательная проверка делимости в конце.
В этом задании тебе не дают число — тебе дают его свойства. «Кратно 4», «сумма цифр равна их произведению», «все цифры различны», «больше 400 и меньше 2000» — и просят предъявить подходящее число или найти его. Значит, проверяется не техника счёта, а умение сузить перебор и довести проверку до конца.
Первым делом переведи условие на язык цифр. У четырёхзначного числа цифры a, b, c, d — это тысячи, сотни, десятки и единицы; само число равно 1000a + 100b + 10c + d. Сумма цифр — это a + b + c + d, произведение цифр — a · b · c · d. Не путай эти две величины: делимость на 3 и на 9 проверяют по сумме, а не по произведению, зато чётность, делимость на 5 и на 10 целиком определяются последней цифрой.
Условия в №19 бывают трёх видов, и каждое переводится на язык цифр по-своему. Про делимость — это признак плюс обязательная проверка делением. Про остатки — «при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки» означает, что число минус этот остаток делится и на 6, и на 5, а сам остаток не равен нулю. Про запись — «каждые две соседние цифры отличаются на 1», «все цифры различны», «каждая следующая цифра больше предыдущей»: это ограничения на порядок цифр, а не на их набор, и учитывать их в переборе нужно последними.
число: 1000a + 100b + 10c + d · сумма цифр: a + b + c + d · произведение цифр: a · b · c · d на 2 — последняя цифра чётная · на 5 — 0 или 5 · на 10 — 0 на 4 — по двум последним цифрам (…00, 04, 08, 12 …) · на 25 — только 00, 25, 50, 75 на 20 — конец 00, 20, 40, 60, 80 (это делимость и на 4, и на 5) на 3 и на 9 — по сумме цифр: 3 — сумма кратна 3, 9 — сумма кратна 9
- Начинай с самого сильного условия. В задаче про кратность 25 сразу выпиши возможные окончания 00, 25, 50, 75 — и перебирай только их, остальные числа не существуют.
- Составной делитель разбивай на множители: делимость на 20 — это делимость на 4 и на 5, делимость на 88 — на 8 и на 11. Так проверка становится механической.
- Нуль разбирай отдельно: если среди цифр есть нуль, произведение цифр равно 0, и условие вида «сумма на 1 больше произведения» становится жёстким.
- Ограничивай размер цифр. Сумма цифр растёт линейно, произведение — очень быстро, поэтому из равенства суммы и произведения обычно следует, что больших цифр в числе нет.
- Иди по возрастанию суммы цифр или по возрастанию самого числа — тогда ни один вариант не потеряется и ни один не проверится дважды.
- Перебирай наборы цифр, а не числа: 1112, 1121, 1211, 2111 — это один набор {1, 1, 1, 2}, свойства от порядка цифр не зависят.
- Последний шаг всегда одинаковый: подели найденное число на делитель из условия. Перебор без этой проверки — самая частая потеря балла.
- Если условие говорит «делится на каждую свою цифру», проверяй деление на каждую цифру по отдельности — и помни, что цифры 0 в таком числе быть не может, на нуль делить нельзя.
Типичные ошибки. 1) Остановиться на числе, которое проходит все свойства, кроме делимости: кратность проверяют делением, а не на глаз. 2) Забыть разобрать случай с нулём среди цифр. 3) Перепутать сумму и произведение цифр. 4) Проверить не все условия: в №19 их обычно три-четыре, и достаточно нарушить одно. 5) В задачах с карточками использовать одну карточку дважды — а вот цифра 3 из набора 1, 2, 3, 3, 4, 7 может встретиться в числе два раза, потому что карточек с тройкой две. 6) Записать число, которое нарушает диапазон из условия (например, ответ должен быть больше 400).
Порядок действий: (1) выпиши все условия по отдельности и пронумеруй; (2) выбери из них самое ограничивающее — обычно делимость или диапазон; (3) по нему составь список возможных окончаний или наборов цифр; (4) перебери варианты, проверяя каждое условие по очереди; (5) подели найденное число на делитель и покажи, что оно кратно; (6) перечитай условие и убедись, что ни одно требование не забыто.
Проверь себя
- Сформулируй признаки делимости на 4, на 25 и на 20.
- Почему случай с нулём среди цифр разбирают отдельно?
- Как из условия «сумма цифр на 1 больше произведения» понять, что больших цифр в числе нет?
- Каким действием обязательно заканчивается решение задания №19?
Показательные решения
- Читаем условие как уравнение: сумма цифр четырёхзначного числа на 1 больше их произведения, то есть сумма = произведение + 1. Плюс число обязано делиться на 19.
- Сначала случай с нулём: если одна из цифр — нуль, произведение цифр равно 0, значит сумма должна быть равна 1. Единственное четырёхзначное число с суммой цифр 1 — это 1000, но оно не кратно 19. Вывод: нулей среди цифр нет.
- Тогда все цифры не меньше 1, сумма цифр не меньше 4, а произведение не меньше 3. Чтобы произведение было не меньше 3, хотя бы одна цифра должна быть больше 1 — значит, число почти целиком состоит из единиц.
- Идём по возрастанию суммы цифр. Сумма 5 — это одна двойка и три единицы: числа 1112, 1121, 1211, 2111. Произведение цифр равно 2, а нужно 4 (сумма минус 1) — не подходят.
- Сумма 6 — это одна тройка и три единицы (1113, 1131, 1311, 3111) или две двойки и две единицы (1122, 1212, …). Произведение равно 3 или 4, а должно быть 5 — не подходят.
- Сумма 7: произведение должно быть равно 6, и это выполнено для набора из тройки, двойки и двух единиц. Перебирая 12 чисел из цифр 1, 1, 2, 3, находим, что кратно 19 только число 3211: 3211 = 19 · 169.
- Ответ: 3211. Число с такими свойствами единственно.
Ответ: 3211
Официальное решение из банка ФИПИ
Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, и тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не < 1 и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх, хотя бы одна из цифр должна быть > 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр. Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию. Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212,..). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию. Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым. Ответ: 3211. Примечание. Четырёхзначное число, обладающее требуемыми свойствами, единственно. Покажем это, приведя другое решение. Приведём решение Дмитрия Мухина (Москва). Пусть a, b, c, d — цифры числа и пусть а самая большая из них (порядок цифр не важен). Покажем, что произведение меньших цифр не больше четырёх. Действительно, из равенства a + b + c + d = 1 + abcd получаем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наибольшую цифру a, получаем, что bcd b, c, d есть нуль, тогда поскольку a + b + c + d = 1, это число 1000, но оно на 19 не делится. Итак, все три меньшие цифры числа отличны от нуля. 2. Пусть все три меньшие цифры равны единице, тогда a + 3 = a + 1. Этот случай невозможен. 3. Пусть меньшие цифры — это две единицы и двойка. Тогда a + 4 = 2a + 1, откуда a = 3. Перебирая 12 чисел, составленных из цифр 1, 1, 2, 3, находим, что из них кратно 19 только число 3211. Оно и является ответом. 4. Пусть меньшие цифры — это две единицы и тройка. Тогда a + 5 = 3a + 1. Отсюда a = 2, но тогда a не наибольшая цифра. Противоречие. Поскольку bcd < 4, других вариантов нет. Искомое число единственно, оно равно 3211.
- Из условия: шесть карточек с цифрами 1, 2, 3, 3, 4, 7 выкладывают в выражение из однозначного, двузначного и трёхзначного чисел — каждая карточка ровно один раз. Сумма должна делиться на 20. На рисунке рядом видно расположение квадратиков: три разряда, в каждом по одной цифре от каждого слагаемого.
- Делимость на 20 — это делимость на 4 и на 5 одновременно: последняя цифра суммы обязана быть 0, а вторая цифра с конца — чётной.
- Ноль в разряде единиц получается, только если цифры в этом разряде дают в сумме 10. Таких наборов среди наших карточек два: 3 + 3 + 4 = 10 и 1 + 2 + 7 = 10. Разбираем каждый случай отдельно.
- Случай 1: в единицах 3, 3, 4, а в разряд десятков идут цифры 1, 2, 7. Среди них две нечётные и одна чётная: чтобы вторая цифра с конца оказалась чётной, берём чётную 2 и одну нечётную — к нечётной сумме добавится 1 от переноса из разряда единиц.
- Собираем: 3 + 23 + 174 = 200. Проверяем по разрядам: единицы 3 + 3 + 4 = 10, пишем 0 и переносим 1; десятки 2 + 7 + 1 = 10, снова 0 и перенос; сотни 1 + 1 = 2. Вторая цифра с конца получилась чётной.
- Второе число этого же случая: 3 + 13 + 724 = 740 — здесь в десятках 1 + 2 + 1 = 4, чётное, сотни 7.
- Случай 2: в единицах 1, 2, 7, а в десятках 3, 3, 4. Берём чётную 4 и нечётную 3, получаем 1 + 32 + 347 = 380: в десятках 3 + 4 + 1 = 8 — чётное, сотни 3.
- В ответ годится любое из найденных чисел — 200, 380 или 740; официальный ответ банка — 200.
Ответ: 200
Официальное решение из банка ФИПИ
Чтобы сумма делилась на 20, она должна заканчиваться на 0 и вторая цифра с конца должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, можно выбрать следующие цифры: 3, 3, 4 и 1, 2, 7. Рассмотрим каждую из двух комбинаций. Случай 1: комбинация 3, 3, 4. Среди оставшихся цифр 1, 2, 7 — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру четную, нужно взять одну четную (2) и одну нечетную цифры (1 или 7) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 1 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 3 + 23 + 174 = 200 и 3 + 13 + 724 = 740. Заметим, что последовательность последних цифр в числах никак не влияет на результат. Случай 2: комбинация 1, 2, 7. Среди оставшихся цифр 3, 3, 4 — две нечетные и одна четная. Чтобы получить вторую цифру четную, нужно взять одну четную (4) и одну нечетную цифры (3) во втором разряде (к нечетной сумме будет добавляться 1 от суммы цифр в 1 разряде). Тогда получаем: 1 + 32 + 347 = 380. Ответ: 200, или 380, или 740.
- Условия по отдельности: число трёхзначное; кратно 25; все цифры различны; сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Ответом может быть любое подходящее число.
- Начинаем с делимости на 25 — это самое сильное условие: число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.
- Окончание 00 не подходит: в числе были бы две одинаковые цифры 0, а все цифры обязаны быть различными. Значит, последние две цифры — 25, 50 или 75.
- Перебираем трёхзначные числа с такими окончаниями и различными цифрами, считая сумму квадратов их цифр.
- Проверяем 125: 1² + 2² + 5² = 1 + 4 + 25 = 30. Число 30 делится на 3 (30 = 3 · 10), но не делится на 9 — все условия выполнены, 125 подходит.
- Для сравнения: 150 даёт 1² + 5² + 0² = 26 — на 3 не делится; 425 даёт 4² + 2² + 5² = 45 — делится и на 3, и на 9, значит не подходит. Подходят ещё, например, 175 (1² + 7² + 5² = 75) и 275 (2² + 7² + 5² = 78).
- В ответ можно взять любое подходящее число, официальный ответ — 125.
Ответ: 125
Официальное решение из банка ФИПИ
Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9. 125: 1² + 2² + 5² = 30, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число. 150: 1² + 5² + 0² = 26, сумма квадратов цифр не делится на 3. 175: 1² + 7² + 5² = 75, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число. 250: 2² + 5² + 0² = 29, сумма квадратов цифр не делится на 3. 275: 2² + 7² + 5² = 78, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число. 325: 3² + 2² + 5² = 38, сумма квадратов цифр не делится на 3. 350: 3² + 5² + 0² = 34, сумма квадратов цифр не делится на 3. 375: 3² + 7² + 5² = 83, сумма квадратов цифр не делится на 3. 425: 4² + 2² + 5² = 45, сумма квадратов цифр делится на 3 и на 9. 450: 4² + 5² + 0² = 41, сумма квадратов цифр не делится на 3. 475: 4² + 7² + 5² = 90, сумма квадратов цифр делится на 3 и на 9. 625: 6² + 2² + 5² = 65, сумма квадратов цифр не делится на 3. 650: 6² + 5² + 0² = 61, сумма квадратов цифр не делится на 3. 675: 6² + 7² + 5² = 110, сумма квадратов цифр не делится на 3. 725: 7² + 2² + 5² = 78, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число. 750: 7² + 5² + 0² = 74, сумма квадратов цифр не делится на 3. 825: 8² + 2² + 5² = 93, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число. 850: 8² + 5² + 0² = 89, сумма квадратов цифр не делится на 3. 875: 8² + 7² + 5² = 138, сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число. 925: 9² + 2² + 5² = 110, сумма квадратов цифр не делится на 3. 950: 9² + 5² + 0² = 106, сумма квадратов цифр не делится на 3. 975: 9² + 7² + 5² = 155, сумма квадратов цифр не делится на 3. Таким образом, условию удовлетворяет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875. Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.
← Все разделы курса по базовой математике · Решать задания №19