№20. Текстовые задачи: движение, работа, проценты
В №20 всегда одна и та же история: кто-то едет, работает или смешивает, а найти нужно одну величину. Решение состоит из двух частей — правильно заполненной таблицы «величина = скорость × время» и одного уравнения, которое получается из сравнения времён.
Все текстовые задачи базового экзамена устроены одинаково: есть величина, равная произведению двух других. Для движения это путь = скорость · время, для работы — работа = производительность · время, для покупок — стоимость = цена · количество, для растворов и смесей — масса вещества = масса смеси · доля. Достаточно запомнить одну связку s = vt и переносить её на любой сюжет: буквы меняются, смысл остаётся.
| Что происходит | Главная связь | Как выразить остальное |
|---|---|---|
| Движение: путь, скорость, время | s = v · t | v = s / t, t = s / v |
| Работа: объём, производительность, время | A = p · t | p = A / t, t = A / p |
| Проценты и смеси: масса, доля, вещество | масса вещества = масса · доля | доля = масса вещества / масса смеси |
| Средняя скорость | v ср = весь путь / всё время | v ср = (s₁ + s₂) / (t₁ + t₂) |
| Движение навстречу | скорости складываются | время до встречи = s / (v₁ + v₂) |
| Движение вдогонку | скорости вычитаются | время до встречи = s / (v₁ − v₂) |
Кроме движения на базовом экзамене встречаются задачи про работу, проценты и смеси, и все они решаются той же таблицей. В работе роль пути играет весь объём работы, а роль скорости — производительность, то есть сколько делается за час. В процентах роль пути играет вся сумма, а роль скорости — доля, которая прибавляется за период. В смесях и сплавах путь — это масса вещества, а скорость — доля этого вещества в смеси, поэтому масса вещества находится умножением массы смеси на долю. Уравнение всё равно составляется по той величине, которая в сюжете складывается: суммируй времена, массы вещества или объёмы работы и приравнивай к общему количеству.
Уравнение почти всегда составляют по времени. В условии есть фраза-подсказка: «тратит времени на 2 часа больше», «прибыл на 1 час раньше», «встретились через 3 часа». Это сравнение времён, поэтому каждое время надо записать как путь, делённый на скорость, и поставить между ними знак «больше на» или «меньше на». Если сравниваются времена, а ты сравниваешь скорости, уравнение получится неверным, даже если арифметика в нём правильная.
- Приведи все данные к одним единицам до составления уравнения: метры в минуту переводят в километры в час, минуты — в часы.
- Обозначь буквой ту величину, которую просят найти. Если так удобнее, обозначь меньшую скорость, а вторую запиши через неё и разницу из условия.
- Заполни таблицу: строки — участники (первый поезд, второй поезд), столбцы — путь, скорость, время. Уравнение после этого видно само.
- Сравнивай одноимённые величины: время с временем, путь с путём. Разница скоростей и разница времён — это два разных уравнения.
- Получив квадратное уравнение, отбрасывай корень, у которого нет физического смысла: отрицательная скорость или отрицательное время не бывают.
- В задачах на среднюю скорость дели весь путь на всё время; среднее арифметическое скоростей верно только тогда, когда на каждую скорость ушла одинаковая доля времени.
- Закончив решение, подставь ответ в условие и проверь именно ту фразу, из которой составил уравнение.
- Если в задаче есть таблица или рисунок, переноси данные в свою таблицу аккуратно: перепутанная строка — самая обидная ошибка, ответ при этом неверный, а решение выглядит логичным.
Типичные ошибки. 1) Единицы: «каждую минуту на 750 метров меньше» — это разница 45 км/ч, а не 750; переводи до уравнения. 2) Сравнение не той величины: если сказано «тратит на 2 часа больше», двойка относится ко времени, а не к скорости и не к пути. 3) Ответ не на тот вопрос: в задаче про поезда спрашивают скорость товарного, а не скорого — ответ 90 здесь типичная ошибка банка. 4) Отрицательный корень квадратного уравнения оставляют в ответе. 5) Среднюю скорость считают как полусумму скоростей, хотя нужно делить весь путь на всё время. 6) Пишут ответ без единиц измерения или в других единицах, чем требует условие. 7) В задачах про работу и смеси складывают не времена, а скорости: складывать можно только одноимённые величины, и только те, которые в сюжете действительно объединяются.
Порядок действий: (1) прочитай, что именно спрашивают и в каких единицах нужен ответ; (2) нарисуй таблицу «путь — скорость — время» и расставь известные данные; (3) обозначь неизвестное за x и вырази остальные величины через него; (4) найди в тексте фразу-сравнение и составь уравнение через время; (5) реши уравнение и отбрось бессмысленный корень; (6) проверь ответ подстановкой в условие.
Проверь себя
- Что такое средняя скорость и в каком случае её можно найти как полусумму скоростей?
- Как по фразе «тратит на 2 часа больше» понять, что уравнение составляют по времени?
- Зачем переводить метры в минуту в километры в час до составления уравнения?
- Какие корни уравнения обязательно отбрасывать и почему?
Показательные решения
- Читаем: из двух городов, расстояние между которыми 560 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 65 км/ч и 75 км/ч. Нужно время до встречи.
- Время в пути у обоих одинаково — они выехали одновременно и встретились в один момент. Значит, неизвестная всего одна: t часов.
- При встречном движении автомобили сближаются, поэтому их скорости складываются: за час расстояние между ними уменьшается на 65 + 75 = 140 км.
- Путь первого автомобиля за t часов равен 65t км, второго — 75t км. Вместе они проходят всё расстояние между городами: 65t + 75t = 560.
- Решаем: 140t = 560, откуда t = 4.
- Проверка: за 4 часа первый проедет 65 · 4 = 260 км, второй 75 · 4 = 300 км, а 260 + 300 = 560 км — ровно расстояние между городами.
- Ответ: 4 часа.
Ответ: 4
Официальное решение из банка ФИПИ
Пусть t ч — время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 65t км, а второй — 75t км. Тогда имеем: 65t + 75t = 560 ⇔ 140t = 560 ⇔ t = 4. Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа. Ответ: 4. Ответ: 4
- Условие: товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит на 2 часа больше. Найти скорость товарного поезда в км/ч.
- Сначала единицы: 750 метров в минуту — это 0,75 км за 1/60 часа, то есть 0,75 : (1/60) = 45 км/ч. Значит, товарный поезд медленнее скорого на 45 км/ч.
- Обозначаем v км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого равна v + 45 км/ч. Обозначаем именно медленный поезд: так быстрый записывается через v одной строкой.
- Время товарного на путь 180 км равно 180/v часов, время скорого — 180/(v + 45) часов.
- Товарный тратит на 2 часа больше, значит уравнение по времени: 180/v = 180/(v + 45) + 2.
- Приводим к общему знаменателю: 180/v = (180 + 2v + 90)/(v + 45), откуда 180v + 180 · 45 = 270v + 2v².
- Собираем всё в одну часть: 2v² + 90v − 180 · 45 = 0, после деления на 2 получаем v² + 45v − 90 · 45 = 0, то есть v = 45 или v = −90.
- Скорость положительна, поэтому v = 45. Проверка: товарный едет 180 : 45 = 4 часа, скорый — 180 : 90 = 2 часа, разница ровно 2 часа. Ответ: 45 км/ч.
Ответ: 45
Официальное решение из банка ФИПИ
Скорость товарного поезда меньше, чем скорого, на 750 м/мин, или на (0,75 км)/(1/60 ч) = 45 км/ч. Пусть υ км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда — v + 45 км/ч. На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый, отсюда имеем: 180/v = (180)/(v + 45) + 2 ⇔ 180/v = (180 + 2 v + 90)/(v + 45) ⇔ 180 v + 180 · 45 = 270 v + 2 v² ⇔ ⇔ 2 v² + 90 v − 180 · 45 = 0 ⇔ v² + 45 v − 90 · 45 = 0 ⇔ v = 45 или v = − 90. при v > 0 ⇔ v = 45. 180/v = (180)/(v + 45) + 2 ⇔ 180/v = (180 + 2 v + 90)/(v + 45) ⇔ ⇔ 180 v + 180 · 45 = 270 v + 2 v² ⇔ 2 v² + 90 v − 180 · 45 = 0 ⇔ ⇔ v² + 45 v − 90 · 45 = 0 ⇔ v = 45 или v = − 90. при v > 0 ⇔ v = 45. 180/v = (180)/(v + 45) + 2 ⇔ 180/v = (180 + 2 v + 90)/(v + 45) ⇔ ⇔ 180 v + 180 · 45 = 270 v + 2 v² ⇔ ⇔ 2 v² + 90 v − 180 · 45 = 0 ⇔ v² + 45 v − 90 · 45 = 0 ⇔ ⇔ v = 45 или v = − 90. при v > 0 ⇔ v = 45. 180/v = (180)/(v + 45) + 2 ⇔ 180/v = (180 + 2 v + 90)/(v + 45) ⇔ ⇔ 180 v + 180 · 45 = 270 v + 2 v² ⇔ ⇔ 2 v² + 90 v − 180 · 45 = 0 ⇔ ⇔ v² + 45 v − 90 · 45 = 0 ⇔ ⇔ v = 45 или v = − 90. при v > 0 ⇔ v = 45. Ответ: 45. Ответ: 45
- Условие не даёт ни пути, ни времени — только скорости 74 км/ч и 66 км/ч и то, что на каждую скорость ушла половина всего времени в пути.
- Вспоминаем определение: средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время движения, а не среднее арифметическое скоростей.
- Обозначаем всё время в пути за 2t часов. Тогда на первую половину времени пришлось t часов, и на вторую тоже t часов.
- Путь за первую половину времени: 74t км, за вторую — 66t км. Всего пройдено 74t + 66t = 140t км.
- Делим весь путь на всё время: (74t + 66t) / (2t) = 140t / (2t) = 70 км/ч. Вспомогательное t сократилось, находить его не нужно.
- Проверка по смыслу: если одинаковое время ехать со скоростями 74 и 66, средняя скорость лежит ровно между ними — 70 км/ч.
- Ответ: 70 км/ч.
Ответ: 70
Официальное решение из банка ФИПИ
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь: все время движения. Пусть автомобиль находился в пути 2t часов, тогда его средняя скорость равна: (74t + 66t)/(2t) = 70 км/ч. Ответ: 70. Ответ: 70
← Все разделы курса по базовой математике · Решать задания №20