№4. Формулы и вычисление величин

Задание проверяет одно умение — видеть в формуле структуру. Почти все формулы позиции устроены одинаково: это либо произведение (f = kx, E = mgh), либо дробь с произведением в знаменателе (S = (a + b)/2 · h, h = E/(mg)). От того, какое место в этой структуре занимает неизвестная, зависит, каким действием её искать: умножать, делить или складывать.

Правило обратных действий простое. Если неизвестная на что-то умножается — она равна результату, делённому на этот множитель. Если неизвестная на что-то делится — она равна результату, умноженному на это. Если к неизвестной что-то прибавляют — вычитаем; если вычитают — прибавляем. Возведение в квадрат снимается корнем. Делить на дробь — то же самое, что умножать на обратную: 17 : 0,2 = 17 · 5 = 85.

f = kx → x = f/k E = mgh → h = E/(mg) E = mv²/2 → m = 2E/v² S = a · b · sin α → a = S/(b · sin α) S = (a + b)/2 · h → h = 2S/(a + b) s = nl → l = s/n

Сначала выражай неизвестную буквами, и только в последней строке подставляй числа. Так ты не запутаешься в порядке действий: в формуле h = E/(mg) двойка и ускорение стоят в знаменателе, и подставлять их нужно вместе, одним произведением. Единицы измерения служат подсказкой: площадь получается в квадратных метрах, длина — в метрах, значит и ответ про длину будет в метрах.

Формулы в этом задании трёх видов. Геометрические — площадь параллелограмма, трапеции, треугольника, прямоугольника через диагональ: здесь важно не перепутать, что умножается, а что делится. Физические — путь, энергия, средние величины. Бытовые — стоимость поездки на такси, длина шага. Работают с ними одинаково: не пугаться букв, выразить неизвестную и только потом подставить числа.

Иногда формула выглядит громоздко: корень, дробь, произведение в знаменателе. Разбирай её по частям: сначала посчитай то, что стоит под корнем или в скобках, потом извлеки корень, потом раздели. Отдельная группа — средние величины: среднее геометрическое трёх чисел — это корень третьей степени из произведения, а среднее квадратичное — корень из среднего арифметического квадратов. Тут главное не перепутать, что стоит под корнем: произведение или сумма квадратов, — и не забыть разделить на количество чисел.

• Отметь в формуле неизвестную букву и посмотри, что с ней делают: умножают, делят, складывают или возводят в степень.
• Если в формуле есть корень, доводи подкоренное выражение до числа и только потом извлекай корень.
• Вырази неизвестную обратным действием, буквами, до подстановки чисел.
• Считай знаменатель отдельным действием и записывай его: 9,8 · 5 = 49, а потом уже дели.
• Помни, что деление на десятичную дробь — это умножение на обратную: 17 : 0,2 = 85.
• Проверяй подстановкой: подставь найденное значение в исходную формулу и убедись, что получается данное в условии число.
• Следи за единицами: если стороны в метрах, то площадь — в квадратных метрах, а не в метрах.
• Если спрашивают не саму величину, а выражение вроде косинуса половинного угла, ищи именно эту дробь, а не угол в градусах.

Типичные ошибки. 1) Делят на значение из левой части вместо коэффициента при неизвестной: вместо 17 : 0,2 считают 0,2 : 17. 2) В формуле из трёх множителей делят только на один из них: пишут h = E/m вместо h = E/(mg). 3) Путают порядок действий в дроби. 4) Возводят в квадрат только часть выражения. 5) Записывают ответ с лишними знаками после запятой, хотя в условии даны десятые доли. 6) Забывают про скобки: 4,9 : 9,8 · 5 и 4,9 : (9,8 · 5) — это разные числа, а в формуле делить нужно на всё произведение.

Порядок действий: (1) выпиши формулу и отметь в ней неизвестную; (2) посмотри, что с ней делают в формуле; (3) вырази её обратным действием и упрости выражение; (4) подставь числа, считая знаменатель отдельно; (5) проверь подстановкой и прикинь результат по смыслу.

Проверь себя

1. Как найти неизвестный множитель из произведения?
2. Почему в формуле E = mgh делить нужно на m · g, а не на одну из величин?
3. Зачем выражать неизвестную буквами до подстановки чисел?
4. Как проверить найденное значение, не пересчитывая всё заново?

Показательные решения