№5. Теория вероятностей

Вероятность события — это доля благоприятных исходов среди всех равновозможных: P = m/n. Если в фирме 20 свободных машин и 8 из них зелёные, вероятность, что по вызову приедет зелёная, равна 8/20 = 0,4. Проценты в ответе не пишут: 0,4, а не 40% и не «четыре десятых». Округление допускается только тогда, когда оно прямо написано в условии.

Главная работа — честно перечислить исходы. «На клавиатуре 10 цифр», «на тарелке 16 пирожков», «по 45 каналам показывают новости в 9» — это знаменатель; «чётных цифр 5», «пирожков с вишней 4» — числитель. Иногда быстрее посчитать противоположное событие и вычесть его из единицы: вероятность, что чайник прослужит больше двух лет, равна 0,89, а больше года — 0,97, значит прослужит от года до двух: 0,97 − 0,89 = 0,08.

P = m/n, где n — все равновозможные исходы, m — благоприятные 0 ≤ P ≤ 1, ответ записываем десятичной дробью P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного) P(противоположное событие) = 1 − P(событие)

Если события независимы, их вероятности перемножаются. Вероятность, что перегорит конкретная лампа, равна 0,3, значит вероятность, что перегорят обе, — 0,3 · 0,3 = 0,09, а вероятность, что хотя бы одна будет гореть, — 1 − 0,09 = 0,91. Следи за формулировкой: «хотя бы одна» считается через единицу минус противоположное событие, а не сложением вероятностей.

Второе, о чём нужно помнить, — исходы должны быть равновозможными. Жребий, монетка, случайный канал, случайно выбранный пирожок — здесь все варианты равноправны, и вероятность считается как доля. Фраза «случайно выбранное число от 10 до 19» тоже означает, что каждое из десяти чисел выпадает одинаково часто, поэтому знаменатель — именно десять.

Ответ записывай десятичной дробью: 0,3, 0,5, 0,9975. Если условие требует округлить до сотых, округляй в самом конце: при бросании двух игральных костей вероятность оказывается чуть меньше 0,14, и только финальное округление превращает её в 0,14 — округли ты раньше, ответ разошёлся бы с правильным.

• Сначала посчитай n — сколько всего вариантов, и только потом m — сколько из них подходит.
• Независимые события перемножаются, а событие «хотя бы один» считается как единица минус вероятность противоположного.
• Сравнивай ответ с половиной: если благоприятных исходов меньше половины всех, вероятность будет меньше 0,5.
• Знаменатель часто получается сложением групп из условия: 10 + 2 + 8 = 20 машин, 7 + 5 + 4 = 16 пирожков.
• Проверяй границы диапазона: числа «от 10 до 19» — это 10 чисел, потому что обе границы включаются.
• Помни, что ноль — чётная цифра: он делится на 2 без остатка, поэтому входит в благоприятные исходы.
• Читай условие наоборот: «не выучил 3 вопроса из 60» значит, что выучено 57, и вероятность равна 57/60 = 0,95.
• Для событий вида «хотя бы один» считай противоположное событие — «ни одного» — и вычитай его из единицы.
• Проверяй ответ по смыслу: вероятность не может быть больше единицы, а ответ «−0,2» или «1,5» говорит об ошибке в счёте.

Типичные ошибки. 1) Путают числитель и знаменатель: делят все исходы на благоприятные. 2) Забывают про ноль в списке чётных цифр и получают 0,4 вместо 0,5. 3) Считают диапазон «от 10 до 19» как 9 чисел и получают 0,2 вместо 0,3. 4) Записывают ответ в процентах там, где просят число. 5) В задачах про «хотя бы один» перемножают вероятности, хотя нужна единица минус вероятность противоположного события. 6) Округляют 0,9975 до 1, теряя верный ответ. 7) Складывают вероятности независимых событий вместо умножения.

Порядок действий: (1) реши, что считается одним исходом; (2) посчитай общее число исходов n; (3) посчитай благоприятные исходы m, перечитывая условие по словам; (4) раздели m на n; (5) проверь, что ответ лежит между 0 и 1, и запиши его десятичной дробью, ничего не округляя без требования.

Проверь себя

1. Что такое P = m/n и что стоит в числителе, а что в знаменателе?
2. Почему ноль считается чётной цифрой?
3. Как посчитать число натуральных чисел от 10 до 19?
4. Когда выгоднее считать вероятность противоположного события?

Показательные решения