№8. Логические выводы из данных

Слово-ключ в условии — «следует». Утверждение следует из данных, если оно верно при любом раскладе, который не противоречит условию. Если можно придумать хотя бы один расклад, где условие выполнено, а утверждение ложно, — оно не следует, и выбирать его нельзя. Поэтому рассуждения «наверное, так и есть» и «скорее всего» здесь не работают: нужно доказательство или контрпример.

Самый надёжный инструмент — цепочки сравнений. Переведи текст условия в значки: «выше», «дороже», «старше» — это знак «больше», «ниже», «дешевле» — знак «меньше». Дальше соединяй связи: если Витя выше Коли, а Коля выше Саши, то Витя выше Саши. Такой вывод (его называют транзитивностью) верен всегда, и именно из таких цепочек берётся большинство правильных ответов.

Отдельно выпиши «свободные» пары — те, о сравнении которых в условии не сказано ни слова. Про них нельзя утверждать ни «больше», ни «меньше», ни «равно». Большинство ловушек устроено именно так: известно, что доска дешевле магнитофона и дешевле стола, но как соотносятся между собой стол и магнитофон, неизвестно — значит, любое утверждение про эту пару выбирать нельзя.

Иногда условие задано не сравнением, а правилом вида «если ..., то ...». Из такого правила надёжно следует только два вывода: если выполнено A, то выполнено и B; и если B не выполнено, то A тоже не выполнено — это то же правило, прочитанное «с другого конца». А вот обратные утверждения — «если B, то A» и «если A не выполнено, то и B не выполнено» — из правила не вытекают: причина у события B может быть и другая. Поэтому читай правило буквально и следи, что в утверждении стоит в условии, а что в выводе.

Встречаются в этой позиции и задачи про подсчёт, а не про сравнение: сколько человек ходит в два кружка, сколько печений посыпаны и корицей, и сахаром. Здесь полезно помнить, что части могут пересекаться. Если сложить всех «историков» и всех «математиков» и сумма окажется больше числа учеников в классе, значит кто-то ходит в оба кружка, и утверждение «никто не ходит в два кружка» заведомо неверно. Такой арифметический контроль помогает быстро отбросить ложные варианты.

• Переведи условие в значки: дороже → >, дешевле → <, выше → >, не позже → ≤.
• Ищи цепочки из двух звеньев — именно они дают гарантированно верные утверждения.
• Проверяй каждое утверждение по отдельности и рядом с ним пиши вердикт: верно, неверно или не следует.
• Следи за словами «все», «каждый», «некоторые»: из «некоторые поехали» не выводится «все поехали».
• Для утверждений со словом «самый» проверь всех участников: чтобы назвать предмет самым дешёвым, он должен быть дешевле каждого из остальных.
• Не путай «неверно» и «не следует»: в ответ идут только те номера, где утверждение гарантированно верно.

Типичные ошибки. 1) Выбирают утверждение, которое кажется логичным, но не выводится: например, что Саша ниже Ани, хотя из условия известно только, что оба ниже Маши — отсюда и появляется частый неверный ответ 12. 2) Считают предметы равными, если про их сравнение ничего не сказано: так в задаче про покупки школы получается неверный ответ 34. 3) Путают направление неравенства: «доска дешевле магнитофона» превращают в «магнитофон дешевле доски». 4) Добавляют в ответ лишний номер «на всякий случай» — лишний номер обнуляет всё задание. 5) Записывают номера через запятую, хотя нужны только цифры подряд.

Порядок действий: (1) выпиши условие значками «больше» и «меньше»; (2) переформулируй каждое утверждение тоже значками; (3) проверь, собирается ли утверждение в цепочку из условия, — если нет, ищи пример, при котором оно ложно; (4) собери номера верных утверждений подряд, в порядке возрастания.

Проверь себя так: для каждого выбранного номера ты можешь назвать цепочку, из которой он выведен, а для каждого невыбранного — представляешь пример расстановки, при которой условие выполняется, а утверждение ложно. Если для невыбранного номера примера придумать не удаётся, утверждение, скорее всего, тоже верно и его нужно добавить в ответ.

Показательные решения